永田環

在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A 為一整環。

• A 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K 中的整閉包是有限 A-模。
• A 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 L/K， A 在 L 中的整閉包是有限 A-模。
• A 被稱作泛日本環，若且唯若 A 上任何有限生成的整環都是日本環。
• 一個泛日本環 A 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 A 也是諾特環。

註：一個代數簇的局部環或其完備化稱作幾何環，但此概念並不流行。

凡擬優環皆為永田環，所以代數幾何中處理的環幾乎都是永田環。是諾特整環而非永田環的例子首先由秋月康夫於1935年給出。

文獻
Y. Akizuki, Einige Bemerkungenuber primare Integritatsbereiche mit Teilerkettensatz*, Proc Phys-Math Soc. Japan 17 (1935) 327-366.
*
A. Grothendieck, J. Dieudonne, [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1964__20__5_0 Eléments de géométrie algébrique*] Publ. Math. IHES , 20, section 23 (1964)
H. Matsumura, Commutative algebra* ISBN 0-8053-7026-9, chapter 12.
Nagata, Masayoshi Local rings.* Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, 由 R. E. Krieger Pub. Co 重印 (1975) ISBN 0882752286