代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

性質的比較
給定一個 \mathbb{C} 上的局部有限型概形 X，可以考慮相應的複解析空間 X^\mathrm{an}。此對應 X \mapsto X^\mathrm{an} 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 \mathcal{O}_X-模 F，同樣可考慮相應的 \mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}-模 F^\mathrm{an}，這也給出相應的函子。可以證明 F \mapsto F^\mathrm{an} 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是：\mathcal{O}_X 是平坦的 \mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}-模。

拓撲性質比較
設 T \subset X 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 T 的性質在 X 中成立，若且唯若在 X^\mathrm{an} 中成立：

• 開子集
• 閉子集
• 稠密子集

當 X 為有限型態射時，對於 X 及 X^\mathrm{an} 本身，下述性質也是相通的：

• 連通
• 不可約

概形性質比較
以下性質對 X 成立，若且唯若對 X^\mathrm{an} 成立：

• 非空
• 離散
• 科恩-麥考利概形
• S_n
• R_n
• 正規
• 既約
• 維度等於 n

態射性質比較
設 f: X \to Y 為概形的態射， f^\mathrm{an}: X^\mathrm{an} \to Y^\mathrm{an} 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 f 成立若且唯若對 f^\mathrm{an} 成立：

• 平坦
• 非分歧
• 平展
• 平滑
• 正規
• 既約
• 分離
• 單射（拓撲意義）
• 同構
• 單射（範疇論意義）
• 開浸入

若再要求 f 是有限型態射，則可再加入下述性質：

• 滿射（拓撲意義）
• 優勢態射
• 閉浸入
• 浸入
• 真態射
• 有限態射

上同調比較
以下假設 f: X \to Y 是真態射，對任一個凝聚 \mathcal{O}_X-模 F，有自然同構：
: (R^\bullet f_ F)^\mathrm{an} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^\bullet f_^\mathrm{an} (F^\mathrm{an})

當 Y=\mathrm{Spec}\,\mathbb{C} 時，遂有層上同調的比較定理：
: H^\bullet(X, F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} H^\bullet(X^\mathrm{an}, F^\mathrm{an})

此時 F \mapsto F^\mathrm{an} 給出範疇的等價。

黎曼存在性定理
黎曼存在性定理則斷言：若 X 是 \mathbb{C}-上的局部有限型概形，且 \mathcal{X}' \to X^\mathrm{an} 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 \mathbb{C}-概形 X' 及平展態射 X' \to X，使得 X'^\mathrm{an} \sim \mathcal{X}'。此外，函子 X' \mapsto X'^\mathrm{an} 給出從【X 的有限平展覆蓋】到【X^\mathrm{an} 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 X 為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：
: \widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} \sim \pi_1^\mathrm{alg}(X, x_0)

其中 x_0 \in X(\mathbb{C})，而 \widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} 表示代數基本群 \pi_1(X^\mathrm{an}, x_0) 對有限指數子群的完備化。

文獻

• J. P. Serre (1956), [http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 "Géométrie algébrique et géométrie analytique."] Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.