譜序列
在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。 動機 讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。 人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜…
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基本群
在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。拓撲空間的基本群的元素是该空间中从某一點出发的環路的同倫等價類; 基本群的群運算是環路的同倫等价类的銜接运算。拓扑空间的基本形状, 或者孔洞的信息都可以在它的基本群中体现。所以基本群能用以研究兩個空間是否同胚，两个同胚的空间的基本群是同構的, 基本群也能分類一個連通空間的覆疊空間。关于拓扑空间X 的基本群的符号是\pi_1(X)。 基本群的推廣之一是同倫群。基本群是最初和最简单…
貝蒂數
在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數（英语：Betti number）b_0, b_1, b_2, \ldots 是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，b_0 是連通分支之個數，b_1 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 b_k 可藉同調群定義。 「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。 定義 空間 X 的第 k 個貝蒂數（k 為非負整數）定義為 : b_k = \dim H_k(…
同調代數
同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。 簡述 同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可藉鏈複形理解，其性質則以同調…
局部系統
在數學中，局部系統或稱局部係數是源於代數拓撲的一種觀念，它是常係數的同調或上同調理論的推廣。這個觀念也能應用於代數幾何 。 用層論的語言來講，局部系統是局部上同構於常數層的阿貝爾群層。若此層整體來看也同構於常數層，則就回到了傳統的常係數層上同調理論。例子包括了帶有平坦聯絡的向量叢，基本群的線性表示則給出了局部同構於向量空間常數層的局部系統。