在抽象代數中，一個環 R 上的平坦模是一個 R-模 M，使得函子 - \otimes_R M 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。

交換環的情形
當 R 為交換環，一個 R-模的平坦性等價於 N \mapsto N \otimes_R M 是個從 R-模到R-模之正合函子。

將環 R 對一個積性子集 S 的局部化 S^{-1}R 視作 R-模，則它是平坦的。

當 R 是諾特環而 M 是有限生成 R-模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模：M 是平坦 R-模若且唯若對任何素理想 \mathfrak{p}，局部化 M_\mathfrak{p} 是自由 R_\mathfrak{p}-模。事實上，對條件中的 \mathfrak{p} 僅須考慮極大理想即可。

一般的環
當 R 非交換時的定義須作如下修改：假設 M 是左 R-模，則稱之左平坦模，若且唯若對 M 的張量積將右 R-模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 R-模 M 是平坦模的充要條件是：對任何右 R-模的單射 K \rightarrow L，取張量積後的同態 K \otimes_R M \rightarrow L \otimes_R M 仍為單射。

極限
一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 - \otimes_R M 與 \mathrm{Hom}_R(M, -) 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在1969年證明了：模 M 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 \mathbb{Z}-模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數
與Tor函子的關係
平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 R-模 M 的平坦性等價於 n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(-, M)=0；類此，一個右 R-模 N 的平坦性等價於 n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(N,-)=0。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列
: 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0

• 若 A, C 平坦，則 B 亦然。
• 若 B, C 平坦，則 A 亦然。
• 若 A, B 平坦，C 不一定平坦；若假設 A 是 B 的純子模而 B 平坦，則可推出 A 與 C 皆平坦。

局部判準
設 R 為交換環，I \subset R 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。

定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價：

M 是平坦 R-模。

R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模，且 \mathrm{Tor}^R_1(M, R/I)=0。

R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模，且典範同態 I \otimes_R M \rightarrow IM 為同構。

對所有 R-模 N，有 IN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0。

對所有 R-模 N，有 \exists s \in \mathbb{N} \; I^sN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0。

對所有 s \in \mathbb{N}，R/I^s \otimes_R M 是平坦 R/I^s-模。

R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模，且典範態射 \gamma: \mathrm{gr}_I^0(M) \otimes_{R/I} \mathrm{gr}_I^\bullet (A) \rightarrow \mathrm{gr}_I^\bullet (M) 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解
一個模 M 的平坦分解是如下形式的正合序列：
: \cdots \rightarrow F_i \rightarrow F_{i-1} \rightarrow \cdots \rightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0
使得其中每個 F_i 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模
一個 R-模 M 被稱作忠實平坦的，若且唯若 - \otimes_R M 是個忠實的正合函子。這也就是說：

M 是個平坦 R-模。

典範映射 \mathrm{Hom}_R(N_1, N_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(N_1 \otimes_R M, N_2 \otimes_R M) 是單射。

當 R 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：

• M 是忠實平坦的。
• M 是平坦的，且 N \otimes_R M=0 \Rightarrow N=0。
• M 是平坦的，且對所有極大理想 \mathfrak{m} \subset R 都有 R/\mathfrak{m} \otimes_R M \neq 0。
• 一個序列 N_\bullet 正合，若且唯若 N_\bullet \otimes_R M 正合。

文獻

• Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33

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