在代數幾何中，一個整概形 X 的函數域 K_X 由 X 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 K_X 所決定的幾何性質。
整概形的情形
定義
若 X 是仿射整概形，U \subset X 為開集，則定義 K_X(U) 為 \mathcal{O}_X(U) 的分式域。此時 K_X 是 \mathcal{O}_X(X) 的分式域的常數層。
若 X 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 U \subset X，可以一致地定義 K_X(U) := K_V(U \cap V)，其中 V 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 X 的函數域。另一種等價定義是 \mathcal{O}_X 在一般點的莖。
函數域與維度
設 k 為域，X 為不可約 k-代數簇，則 K_X 是 k 的域擴張，有時也寫作 k(X)。此擴張的超越次數等於 \dim X，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。
例子
- \Z 的函數域是 \mathbb{Q}。
以下設 k 為域。
- 單點 \mathrm{Spec}(k) 的函數域是 k 本身。
- 仿射直線 \mathbb{A}^1_k 與射影直線 \mathbb{P}^1_k 的函數域都是 k(t)，其中 t 是 k 上的超越元。
- 考慮平面曲線 y^2 = x^5+1，其函數域是 k(x,y)，其中 x,y 是 k 上滿足 y^2=x^5+1 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 k 為有限域時，k-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。
一般概形的情形
當 X 不是整概形時，\mathcal{O}_X 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：
: 對任一開集 U \subset X，令 S_U 為 \mathcal{O}_X(U) 中的非零因子集，這是一個積性集。命 K_X^p(U) := S_U^{-1} \mathcal{O}_X(U)（即 \mathcal{O}_X(U) 的全分式環）。K_X^p 構成 X 上的預層。令 K_X 為其層化，此即 X 的有理函數層，它是 \mathcal{O}_X-代數構成的層。
若 X 局部上可以分解成有限個整概形 X = \bigcup X_i（這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 U 有
: K_X(U) = \bigoplus_{X_i \cap U \neq \emptyset} K_{X_i}
此時 K_X 是 X 上的擬凝聚層。
與亞純函數域的關係
在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 \mathbb{C}-代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 \mathbb{A}^1_\mathbb{C}）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。
文獻
*
- Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206
评论 (0)