在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定義
設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得
: P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n
則稱之為長度為 n 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。R 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 R 中素理想的最大可能高度。

根據定義， R 的維數與對素理想的局部化有下述關係
: \dim R = \sup \{ \dim R_\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}R \}
其中 \mathrm{Spec}R 表 R 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 \mathfrak{p}。當 R 為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質
例如在環 (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] 中可考慮以下的素理想鏈

: (2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z)

因此 \dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] \geq 3；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

• 零維的整環是域。
• 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
• 若 \dim R = k，則 k+1 \leq \dim R[X] \leq 2k+1；當 R 為諾特環時則 \dim R[X] = k+1。
• 若 k 為域，則 \dim k[X_1, \ldots, X_n] = n。
• 若 B 為 A-代數，同時又是有限生成的 A-模，則 \dim B = \dim A。

與幾何的關係
在代數幾何中，一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界；對於仿射概形 X = \mathrm{Spec} A，則回歸到 \dim X = \dim A。

設 k 為域，R 是有限型 k-整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數 d 及 R 中彼此代數獨立的元素 x_1, \ldots, x_d ，使得 R 是有限生成之 k[x_1, \ldots, x_d]-模，因此 \dim R = d。從幾何觀點看，\mathrm{Spec} R 此時是 \mathbb{A}^d_k 的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：

\dim \mathbb{A}^d_k = d

若 X \rightarrow Y 是分歧覆蓋，則 \dim X = \dim Y。

特別是當 k=\mathbb{C} 時，代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9