在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。
定義
固定概形 V, W。考慮所有的資料 (U,f)，其中 U \subset V 是稠密開集，而 f: U \to W 是態射；這些資料代表了 U 上「部份定義」的態射，U 代表 f 的定義域。定義下述等價關係：
: (U,f) \sim (U', g) \iff f|_{U \cap U'} = g|_{U \cap U'}
此外，注意到稠密性保證 U \cap U' 也是 V 中的稠密開集。當 V 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 V 既約而 W 是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。
從概形 V 到 W 的有理映射 f 是其中的一個等價類 [U,f]。
若 f 是從 U 到 V，g 是從 V 到 W 的有理映射，則一般並不能定義其合成 g \circ f。但是當 f 的像（對某個，因而對每個代表元 (U_0, f_{U_0})）在 V 中稠密時，對每個 g 的代表元 (V_0, g_{V_0})，f_{U_0}(U_0) \cap V_0 皆非空，此時可以定義 g \circ f := [f_{U_0}^{-1}(V_0), g_{V_0} \circ f_{U_0}]。
同理，若 V 與 W 都是 S 上的概形，也可以類似地定義 S-有理映射。
例子
設 k 為整環，設 V := \mathbb{A}^n_k、W := \mathbb{A}^m_k，則從 V 到 W 的任何有理映射 f 有唯一的表法：
: f = \left(\dfrac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{g_1(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \dfrac{f_m(x_1, \ldots, x_n)}{g_m(x_1, \ldots, x_n)}\right)
其中 f_i, g_i 是多項式。該有理映射可以在 \mathbb{A}^n_k \setminus \bigcup_i \{g_i = 0 \} 上定義。
此外，對於不可約 k-概形 X，其上的有理函數一一對應到從 X 到 \mathbb{P}^1_k 的有理映射。
優勢映射與雙有理等價
之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 V 到 W 的雙有理等價為一個優勢映射 f，使得存在另一個從 W 到 V 的優勢映射 g，使 f \circ g = \mathrm{id}_W、g \circ f = \mathrm{id}_V。
以下考慮域 k 上的不可約代數簇及其間的 k-有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。
雙有理等價的例子
雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 \mathbb{P}^2_k 與 X: xy-wz =0 \subset \mathbb{P}^3_k，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下：\mathbb{P}^2_k 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 X 中，w=x=0 與 y=z=0 不相交，因而 X 與 \mathbb{P}^2_k 並不同構。
另一方面，X 的函數域可以在仿射開集 w \neq 0 上計算，此開集的座標環是 k[x,y,z]/(xy-z) \simeq k[x,y]，其函數域是 k(x,y)；這也是 \mathbb{P}^2_k 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。
參見
- 雙有理幾何
文獻
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