在數學分析跟數論等數學領域中，若說一個無限序列或函數最終有某種性質，則意味著這性質雖然未必對所有經過排序後的例子成立，但對於某個例子之後的所有例子都成立。而所謂的「最終」一詞，又可用「對於充分大的數而言」或「對於足夠大的數而言」等表述代替，且可延伸到定義在任意有序集的元素（像是實數集合\mathbb{R}的子集或者是序列）的性質之上。
表記
跟「最終」（或充分大、足夠大等）相關的句子的一般形式如下：
:P最終對x成立（或說「P對於任意充分大的x成立」或「P對於任意足夠大的x成立」）
在使用全稱量化\forall及存在量化\exists的情況下，前述句子其實是如此表達式的簡記：
:\exists a \in \mathbb{R}，使得\forall x \ge a而言，P為真
或更形式地：
:\exists a \in \mathbb{R}: \forall x \in \mathbb{R}:x \ge a \Rightarrow P(x)
這並表示說已知a為任意特定的數值，而只表示說有這樣的a存在。「充分大」等表述不當與「任意大」或「無限地大」等表述混合。可見「任意大」一文中對相關用法的辨析。
動機與定義
在研究無限序列時，研究者常更關心序列長期的行為而非前期的行為。在這情況下，一個正式地攫取這觀念的方式，是說這序列最終有著特定的性質，或等價地，對於某個N \in \N而言，這序列有個子序列(a_n)_{n \geq N}滿足這性質。
像例如說，對收斂至某個極限a的實數序列(a_n)的定義如下：
:對於任意的正實數\varepsilon而言，存在一個正整數N，使得對於任意的n >N 而言，有\left\vert a_n - a \right\vert。
在使用「最終」一詞作為「存在一個正整數N，使得對於任意的n >N 而言」的簡記時，上述的對收斂的定義可重述如下：
:對於任意的正實數\varepsilon而言，最終會有\left\vert a_n-a \right\vert。
在此，注意到說可能不滿足上述條件的正整數的集合會是一個有限集，也就是說可能不滿足上述條件的正整數的集合，會是一個空集合，或有一個最大元素；而一個結果就是，在這種狀況下使用「最終」一詞，等同於表明「除了有限多個可能例外之外，對於全部的正整數而言」，而這是「對幾乎所有的數而言」這表述的特例。此外要注意的是，「幾乎所有」也可表示有無限多個可能的例外。
在更基本的層次，可將一個序列視為是定義域為正整數的函數，因此「最終」一詞也可用於定義在更加一般的集合的函數之上，尤其可用於沒有最大元素的有序集合之上。
更特別地，若S是一個如此的集合，且有一個S中的元素s使得函數f定義在所有大於s的元素之上，那說f最終有某性質，就意味著存在一個元素x_0使得對於每當x>x_0成立時，f(x)總有該性質。這表述被用於諸如等的研究當中，哈代域是一個以實數函數構成的域，其中每個最終都有某個性質。
例子
- 「所有大於2的質數都是奇數」表示說「最終所有的質數都是奇數」。
- 最終所有的質數除以6都餘1或餘5。
- 最終所有質數的平方除以24都餘1。（實際上這對於所有大於3的質數都成立）
- 最終正整數的階乘都以0結尾。（實際上這對於所有大於4的正整數都成立）
其他領域的應用
*若一個3-流形包含一個真嵌入的2邊，則稱這個3-流形「充分大」。這性質是一個3-流形要成為的必要條件之一。
*時間邏輯中有一個符號可用於表示如次的描述：「特定性質在未來某時最終會成立」
參見
*幾乎所有
*大O符號
*數論
參考資料
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