極性集

在數學中，極性集是位勢論裡的一個重要概念，地位有比零測度集之於測度論，極性集合在位勢論中也代表一類特別「小」的集合，通常可以忽略不計。

定義
\mathbb{R}^n \;(n \geq 2)裡的極性集可以如下定義：E是極性集若且唯若存在非常數的次調和函數u，使得
: E \subset \{x \in \mathbb{R}^n : u(x) = -\infty \}

在\mathbb{R}^2 (\cong \mathbb{C})的情形，可以用容度定義極性：集合E被稱作極性的（polar），當且僅當它的容度為零。

若將定義中的次調和函數改為多重次調和函數，得到的集合稱作多重極性集。

性質

• \mathbb{R}^n中的單點集合是極性的
• 可數個極性集的聯集也是極性的
• 極性集在\mathbb{R}^n中的勒貝格測度為零
• 極性集必然是完全非連通的

最後兩點並非充分條件，例如康托爾集合測度為零而且完全非連通，但它不是極性的。

延伸阅读

• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.

L. L. Helms (1975). Introduction to potential theory*. R. E. Krieger ISBN 0-88275-224-3.