巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。
巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为：
:G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right].
其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。
差分方程、函数方程与特殊值
巴尼斯G函数满足差分方程
:G(z+1)=\Gamma(z)G(z).
特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：
:G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}.
因此，
:G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}.
其中，\Gamma(n)表示Γ函数，K(n)表示K函数。
另外，在满足条件\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0时，差分方程唯一确定一个G函数。.
由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：
: G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.
乘法公式
与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).
:
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).
其中K是一个常数，定义为：
: K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.
其中\zeta^\prime表示黎曼ζ函数的导函数，A则表示为格莱舍常数。
\log \,G(z+1 )可渐近展开为（由巴尼斯提出）：
: \log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+
\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).
其中B_{k}为伯努利数，A为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数B_{2k}习惯写成(-1)^{k+1} B_k 。）
相关条目
- Γ函数
- K函数
参考
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