K函数

K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展，如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。
K函数的定义为：

:K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].

还可以写成闭合形式：

:K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right].

其中，\zeta^\prime(z)表示黎曼ζ函數的导函数，而\zeta^\prime(a,z)则表示赫爾維茨ζ函数的导函数，即

:\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.

另一种使用多伽玛函数的表示形式是：

:K(z)=\exp\left(\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac z2 \ln (2\pi)\right).

或者使用广义多伽玛函数表示为：

:K(z)=A e^{\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}.
其中A表示格莱舍常数（Glaisher constant）。

K函数与Γ函数和巴尼斯G函数关系密切。对于自然数n，我们有：

:K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.

还可以更简单地写为：

:K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.

前几项为：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的[https://web.archive.org/web/20100114020316/http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002109 第A002109号]数列).

相关条目

• Γ函数
• 巴尼斯G函数

参考
外部链接
*