阿達馬伽瑪函數

在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：
:H(x) = \frac{1}{\Gamma (1-x)}\,\dfrac{d}{dx} \left \{ \ln \left ( \frac{\Gamma ( \frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{\Gamma (1-\frac{x}{2})}\right ) \right \}

其中，是一般的伽瑪函數。若為正整數，則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等：
:H(n) = \Gamma(n) = (n-1)! \,

性質
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同，阿達馬伽瑪函數沒有奇點，是一個完全連續的函數，並且滿足下面等式：
:H(x+1)=x\, H(x) + \frac{1}{\Gamma(1-x)}
其中\tfrac{1}{\Gamma(1-x)}\to 0在x趨近正整數時趨近為0。

其他表示法
阿達馬伽瑪函數可以用双伽玛函数表示：
:H(x)=\frac{\psi\left ( 1 - \frac{x}{2}\right )-\psi\left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right )}{2\,\Gamma (1-x)}
:H(x) = \Gamma(x) \left [ 1 + \frac{\sin (\pi x)}{2\pi} \left \{ \psi \left ( \dfrac{x}{2} \right ) - \psi \left ( \dfrac{x+1}{2} \right ) \right \} \right ],
其中，表示双伽玛函数。

參考文獻
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