多伽玛函数

\boldsymbol{m}阶多伽玛函数**是伽玛函数的第(\boldsymbol{m+1})个对数导数。

:\psi^{(m)}(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^m\psi(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^{m+1}\ln\Gamma(\zeta)

在这里

:\psi(\zeta)=\psi^{(0)}(\zeta) = \frac{\Gamma'(\zeta)}{\Gamma(\zeta)}

是双伽玛函数，\Gamma(\zeta)\!是伽玛函数。函数\psi^{(1)}(\zeta)\!有时称为三伽玛函数。

积分表示法
多伽玛函数可以表示为：

:\psi^{(m)}(\zeta)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty
\frac{t^m e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}} dt

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。

递推关系
多伽玛函数具有以下的递推关系：
:\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.

乘法定理
乘法定理给出：

:k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

其中m>1。对于m=0，则是双伽玛函数：

:k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1}
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)

级数表示法
多伽玛函数有以下的级数表示法：

:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：

:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

泰勒级数
z = 1时，泰勒级数为：

:\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},

当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。

参见

参考文献

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . 参见第[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm §6.4]节。