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Β函数

Wikipedia · 2025-10-06 维基百科 👁 1 阅读

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

:
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t
\!

其中\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,。

性质
Β函数具有以下對稱性質：

:
\Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!
当x, y是正整数的时候，我们可以从階乘或是伽马函数其中\Gamma(x)\,得到如下式子：

:
\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!

它有许多其它的形式，包括：

:
\Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!

:
\Beta(x,y) =
2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta,
\qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

:
\Beta(x,y) =
\int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t,
\qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

:
\Beta(x,y) =
\sum_{n=0}^\infty \dfrac {x+n},
\!

:
\Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!

:
\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
\dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!

:
\Beta(x,y) =
\dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}
\!

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

:{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}

伽玛函数与贝塔函数之间的关系
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

:
\Gamma(x)\Gamma(y) =
\int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,\mathrm{d}v.
\!

现在，设u = a^2, v = b^2，因此：

:\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,\mathrm{d}b \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,\mathrm{d}a \,\mathrm{d}b.
\end{align}
\!

利用变量代换a = r\cos\theta和b = r\sin\theta，可得：

:\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
\int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, \mathrm{d}\theta \\
& {} = \frac{1}{2}{\color{red}{\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)}\, \mathrm{d}(r^2)}} \, 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,\mathrm{d}\theta \\
& {} = {\color{red}{\Gamma(x+y)}} \, 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y).
\end{align}

因此，有：

:
\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

导数
贝塔函数的导数是：

:{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

其中\psi(x)是双伽玛函数。

估计
斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

:\Beta(x,y)\approx\sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.

不完全贝塔函数
不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

: \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

当x=1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

: I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

: I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k)

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

性质
: I_0(a,b) = 0 \,
: I_1(a,b) = 1 \,
: I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,

参见

  • Β分布
  • 二项分布
  • 伽玛函数

参考文献

*

外部链接

#伽玛及相关函数 #特殊超几何函数

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