反伽瑪函數

{{multiple image
| total_width = 450
| image1 = Inverse of Gamma function.svg
| caption1 = 反伽瑪函數\Gamma^{-1}(x)的函數圖形
| image2 = Inverse gamma function in complex plane.png
| caption2 = 反伽瑪函數\Gamma^{-1}(x)在複數域的色相環複變函數圖形
}}
反伽瑪函數\Gamma^{-1}(x)（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。
換句話說，如果反Γ函數以\Gamma^{-1}(x)=y的形式表示，則其滿足\Gamma(y)=x。
例如24的反伽瑪函數值為5，\Gamma^{-1}(24)=5，因為5代到伽瑪函數為24。
一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間\left[\beta, +\infty\right)上且圖形在實數區間\left[\alpha, +\infty\right)上的主分支，{{來源範圍|text1=其中\beta = 0.8856031\ldots|ref1=|text2=是伽瑪函數在正實軸上的最小值、\alpha = \Gamma^{-1}(\beta) = 1.4616321\ldots|ref2=|text3=是能使\Gamma(x)最小的x值|ref3=}}。
反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。

限制在\left[\alpha, +\infty\right)區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為\Gamma^{-1}(x)。
在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為\Gamma_{n}^{-1}(z)。

，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數]]

定義
由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：
:\Gamma(\Gamma^{-1}(x))=x
更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：
:\Gamma^{-1}(x)=a+bx+\int_{-\infty}^{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{1}{x-t}-\frac{t}{t^{2}-1}\right)d\mu(t)
其中\int_{-\infty}^{\Gamma\left(\alpha\right)}\left(\frac{1}{t^{2}+1}\right)d\mu(t)、a和b為滿足b\geqq0的實數、\mu (t)為博雷尔测度。

近似值
反伽瑪函數的分支可以透過先計算\Gamma^{-1}(x)在分支點\alpha附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。
例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似；
:
\Gamma^{-1}\left(x\right)\approx\alpha+\sqrt{\frac{2\left(x-\Gamma\left(\alpha\right)\right)}{\Psi\left(1,\ \alpha\right)\Gamma\left(\alpha\right)}}.
反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：
:\Gamma^{-1}(x)\sim\frac{1}{2}+\frac{\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)\right)}
其中W_0(x)是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。
級數展開
要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數\frac{1}{\Gamma(x)}在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令z=\frac{1}{x}可以得到第n個分支的反伽瑪函數\Gamma_{n}^{-1}(z)，其中n\ge 0。
:\Gamma_{n}^{-1}(z)=-n+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!z}+\frac{\psi^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^2}+\frac{\left(-1\right)^{n}\left(\pi^{2}+9\psi^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^3}+O\left(\frac{1}{z^{4}}\right)
其中，\psi^{(n)}(x)是多伽玛函数。

反階乘
反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial-1或ArcFactorial，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到。
例如120的反階乘為5，因為。
目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。

反伽瑪函數與反階乘的關係為：
: \Gamma^{-1}(n) = \mathrm{ArcFactorial}(z)+1

這是由於：
:z!=\Gamma(z+1)

反階乘可以定義為：
:(\mathrm{ArcFactorial}(z))!=z
條件是\mathrm{ArcFactorial}(z)在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到-\infty。

在分支點z=\mu_0附近的反階乘可以展開為；
:
\mathrm{ArcFactorial}(z)=\nu_0+\sum_{n=1}^{N-1} d_n\cdot \Big(\log(z/\mu_0) \Big)^{n/2}

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：
: \mathrm{ArcFactorial}\left( z\right)\approx-1+\alpha+\sqrt{\frac{2\left(x-\Gamma\left(\alpha\right)\right)}{\Psi\left(1,\ \alpha\right)\Gamma\left(\alpha\right)}}.
因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式：
:\mathrm{ArcFactorial}\left( x\right) \sim\frac{\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)\right)}-\frac{1}{2}
其中W_0(x)是朗伯W函数。

參見
*倒數伽瑪函數

註釋
參考文獻