的倒數的函數圖形]]
]]
在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：
:f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}
其中，代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。
倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了的成長速度不會高過。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說的增長速度比任何的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的大致成比例。
由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數。
無窮乘積展開
根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：
:\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(z)} &= z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z} \\
\frac{1}{\Gamma(z)} &= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}
\end{align}
其中\gamma\approx0.577216...是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。
泰勒級數
倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：
:\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots
其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。對的情形，其的系數可由遞迴定義求出：
:a_n = \frac{{a_2 a_{n-1} - \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{n-j}}}{n-1}
其中代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示：
:a_n = \frac{(-1)^n}{\pi n!}\int_0^\infty e^{-t}\Im[(\log(t)-i\pi)^n]dt.
其前幾項的值為：
而的近似值為）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：
:\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_H (-t)^{-z} e^{-t} \, dt,
其中，為。
階乘倒數
階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：
:\prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{n!} \quad\forall n\ge1
其無窮級數收斂在：
:\sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = e
由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：
:\frac{1}{n!} = \frac{1}{\Gamma(z+1)}.
對於n \geq 1的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ：
:\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-n\imath\vartheta} e^{e^{\imath\vartheta}}\ d\vartheta.
同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數c > 0 且 z \in \mathbb{C}，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式：
:\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} (c+\imath t)^{-z} e^{c+\imath t} dt,
其中在z := n + 1/2的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：
:\frac{1}{(2n-1)!!} = \frac{\sqrt{\pi}}{2^n \cdot \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}
積分
將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：
:\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,
這個值又稱為。
參見
*伽瑪函數
*反伽瑪函數
參考文獻
评论 (0)