双伽玛函数

上的双伽玛函数 \psi(s) 。点 s 的颜色与 \psi(s) 的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与辐角有关。]]

双伽玛函数是伽玛函数的。

:\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

它是第一个多伽玛函数。

与调和数的关系
双伽玛函数，通常用ψ0(x)、ψ0(x)或\Digamma来表示，与调和数有以下的关系：

:\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

其中Hn是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为：

:\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 +
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}

积分表示法
它有以下的积分表示法：

:\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt

也可以写为

:\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数
双伽玛函数有一个，由z=1的泰勒级数给出。这是

:\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k,

当|z|\zeta(n)是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数
双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出：

:\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}

其中\textstyle{s \choose k}是二项式系数。

反射公式
双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式：

:\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }

递推关系
双伽玛函数满足以下的递推关系：

:\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}

高斯和
双伽玛函数具有以下形式的高斯和：

:\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) =
\frac{1}{2} - \frac{m}{k}

其中m是整数，且0。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数，B_n(x)是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是：

:\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
=-k(\gamma+\log k),

一个推广为：

:\sum_{p=0}^{q-1}\psi\left(a+\frac{p}{q}\right)=q[\psi(qa)-\ln(q)],

其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理
对于正整数 m \,和 k \, \left(m，双伽玛函数可以用初等函数来表示：

:\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k)
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln \sin\left(\frac{n\pi}{k} \right)

特殊值
双伽玛函数有以下的特殊值：

: \psi(1) = -\gamma\,\!

: \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma

: \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma

: \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma

: \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln3 - \gamma

: \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left[\pi + \ln(3+2\sqrt{2})\right] - \gamma

: \psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma

参见

• 伽玛函数
• 三伽玛函数
• 多伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第[https://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm §6.3]节。

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