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索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

Wikipedia · 2026-02-20 维基百科 👁 1 阅读

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula, 或 魏尔斯特拉斯定理（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是複分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

定理陈述
令ƒ为定义在实数轴上的连续函数，a与b为实常数，满足a \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx,

其中\mathcal{P}表示柯西主值。

实轴版本
在实轴上积分的版本尤其重要。

: \lim_{\varepsilon\to0^{+}} \frac{1}{x\pm i\varepsilon}= \mp i\pi\delta(x) + {\mathcal{P}} {\Big(\frac{1}{x}\Big)}

其中 \delta(x) 是狄拉克δ函数，\mathcal{P} 表示柯西主值。将这两式作差，得到

: \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ \frac{1}{x-i\varepsilon} - \frac{1}{x+i\varepsilon} \right] = 2\pi i \delta(x)

这些式子应该理解为积分等式：令 f 是一个在实轴上有定义且连续的复值函数，且令 a 和 b 是满足 a 的实数。那么

: \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx

且

: \lim_{\varepsilon \to 0^+ } \int_a^b \left[ \frac{f(x)}{x- i \varepsilon} - \frac{f(x)}{x+ i \varepsilon} \right] \, dx = 2 \pi i f(0)

注意这个版本无需用到解析性。

定理证明
简单证明如下：

:
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx.

注意到第一项 \varepsilon/(\pi(x^2+\varepsilon^2)) 为狄拉克δ函数之先趨函數，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 \mp i \pi f(0).

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，x^2/(x^2+\varepsilon^2)趋近于1；当|x| \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt)\,dt\, dE,

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

:\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\, dE

::= -i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(E)}{E-i\varepsilon}\,dE = \pi f(0)-i \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(E)}{E}\,dE,
其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中，推导朗道阻尼的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

参考文献

  • Chapter 3.1.
  • Appendix A, equation (A.19).

提及该定理名称的引用

#复分析定理

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