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留数定理

Wikipedia · 2025-07-04 维基百科 👁 0 阅读

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。

定理
假设U是复平面上的一个单连通开子集，a_1, \cdots, a_n是复平面上有限个点，f是定义在U\setminus{a_1, \cdots, a_n}的全纯函数。如果\gamma是一条把a_1, \cdots, a_n包围起来的可求长闭曲线，但不经过任何一个a_k，那么：

:\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k)
\operatorname{Res}( f, a_k ).

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, ak) = 1，因此：
:\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k ).

在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

例子
实轴上的积分
以下的积分

:\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

:\int_C {f(z)}\,dz =\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.

由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

:

f(z)在z = i的留数是：

:\operatorname{Res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.

根据留数定理，我们有：

:\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

:\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,

因此

:\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

:\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \leq \int_{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^2+1}\right|\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{1 \over |z^2+1|}\,|dz|\leq \int_{\mbox{arc}}{1 \over a^2-1}\,|dz|=\frac{\pi a}{a^2-1}
\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.

上述结果也可以直接由得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要t>0才能成立，所以如果t就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果t > 0，那么：

:\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t \int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,

因此我们有：

:\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

无穷级数
由于\pi\cot(\pi z)在z为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为1，因此可以用来计算如下所示级数：

:\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)

在此处令f(z)=z^{-2}，并且令\Gamma_N为\left[-N-\frac12,N+\frac12\right]^2的正方形正向（逆时针）围道（其中N为整数），于是依留数定理：

:\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\Gamma_N}f(z)\pi\cot(\pi z)\mathrm dz=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\Gamma_N}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}\mathrm dz=\operatorname{Res}_{z=0}+\underset{n\ne0}{\sum_{n=-N}^N}\frac1{n^2}

当N\to\infty时，等式左侧由于O(n^{-2})而趋于零；另一方面：

:\frac z2\cot\frac z2=1-\frac{B_2z^2}{2!}+\cdots=1-\frac{z^2}{12}+\cdots

其中有伯努利数B_2=\frac16。

（实际上有\frac z2\cot\frac z2=\frac{\mathrm iz}{1-\mathrm e^{-\mathrm iz}}-\frac{\mathrm iz}2）因此，\operatorname{Res}_{z=0}=-\frac{\pi^2}3，可以得出：

:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6

即为巴塞尔问题的证明之一。

参见

  • 留数
  • 路径积分
  • 莫雷拉定理
  • 傅里叶变换
  • 拉普拉斯变换

参考文献
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外部链接

#复分析定理 #解析函数

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