棣莫弗公式

棣莫弗公式（英語：de Moivre's formula）是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其內容為對任意实数x和整數n，下列性質成立：
:( \cos (x) + i \sin (x) )^n = \cos (nx) + i \sin (nx)

其中i是虛數單位（i^2=-1）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將\cos x+i \sin x合併為另一個三角函數，也就是說：
:\operatorname{cis}^n (x) = \operatorname{cis} (nx)

在操作上，我們常常限制x屬於實數，這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把\cos(nx)和\sin(nx)表示為\cos x和\sin x的n倍角公式。另外，儘管棣美弗公式限制n須為整數，但倘若適當推廣本公式，便可將n拓展到非整數的領域。

證明
（证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\cos (n \theta) + i \sin (n \theta) , n \in\mathbb{N}

（1）当n=0时，显然成立。

（2）當n=1时：

左式 = ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 = \cos \theta + i \sin \theta = \cos (1 \cdot \theta) + i \sin (1 \cdot \theta) = 右式

因此，P(1)成立。

（3）當n>1时：

假設P(k)成立，即(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos (k\theta) + i\sin(k\theta)

當n=k+1时：

\begin{align}
(\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}
&=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)
\\&=(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)
\\&=(\cos k\theta \cdot \cos\theta + i\sin k\theta \cdot i\sin\theta) + (\cos k\theta \cdot i\sin\theta+i\sin k\theta \cdot \cos\theta)
\\&=(\cos k\theta \cdot \cos\theta - \sin k\theta \cdot \sin\theta) + i(\cos k\theta \cdot \sin\theta + \sin k \theta \cdot \cos\theta)
\\ & \ \overset{1}{=}\cos (k\theta+\theta) + i\sin (k\theta+\theta)
\\ & \ =\cos [(k+1)\theta] + i\sin [(k+1)\theta]\\
\end{align}

等号1处使用和角公式。

因此，P(k+1)也成立。

综上所述，根據數學歸納法，\forall n \in \mathbb{N}，P(n)成立。

另外，由恒等式：
: (\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1
可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

檢定
最简单的方法是应用欧拉公式。
:由於e^{ix} = \cos x + i\sin x\,
:所以{\color{Green}(\cos x + i\sin x )^n} = (e^{ix})^n = e^{inx} = e^{i(nx)} = {\color{Green}\cos (nx) + i\sin (nx)}

用棣莫弗公式求根
此定理可用來求單位複數的 n 次方根。設 |z|=1，表為
:z = \cos \theta + i \sin \theta

若 w^n = z，則 w 也可以表成：
:w = \cos \phi + i \sin \phi

按照棣莫弗公式：
:w^n = (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi = \cos \theta + i \sin \theta = z

於是得到
:n \phi = \theta + 2k\pi（其中 k \in \Z）

也就是：
: \phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}

當 k 取 0, 1, \ldots, n-1，我們得到 n 個不同的單位根：
:w = \cos (\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin (\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}), k=0, 1, \ldots, n-1

參考資料