在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集\Omega\subset\R^2中的函數u(x,\,y)，另一個函數v(x,\,y)為其共軛函數的充分必要條件是u(x,\,y)和v(x,\,y)需要是全純函數 f(z)（z:=x+iy\in\Omega）的實部及虛部。
因此，若f(z):=u(x,y)+iv(x,y)在\Omega中為全純函數，v就為u的共軛函數。而v和u也是\Omega中的调和函数。v為u的共軛函數，若且唯若u為-v的共軛函數。
在\Omega區間內， v是u共軛函數的充分必要條件是u和v滿足柯西－黎曼方程。
: { \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }
:{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } .
舉例
例如，考慮函數u(x,y) = e^x \sin y.
因為
{\partial u \over \partial x } = e^x \sin y, \quad {\partial^2 u \over \partial x^2} = e^x \sin y
且
{\partial u \over \partial y} = e^x \cos y, \quad {\partial^2 u \over \partial y^2} = - e^x \sin y,
會滿足
\Delta u = \nabla^2 u = 0
（\Delta是拉普拉斯算子），因此是调和函数。現在假設存在v(x,y)，可以滿足柯西－黎曼方程：
{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} = e^x \sin y
and
{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x} = e^x \cos y.
化簡後可得
{\partial v \over \partial y} = e^x \sin y
且
{\partial v \over \partial x} = -e^x \cos y
因此可得
v = -e^x \cos y + C.
若和的關係對調，函數就不是調和共軛函數了，因為柯西－黎曼方程中的負號，讓此關係是非對稱的關係。
參考資料
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外部連結
- [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/HarmonicRatio.shtml Harmonic Ratio]
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