雙調和方程式

在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成

:\nabla^4\varphi=0

或

:\nabla^2\nabla^2\varphi=0

或

:\Delta^2\varphi=0

 \nabla^4 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 

:
\nabla^4\varphi=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\partial_i\partial_i\partial_j\partial_j \varphi.

例如，在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做

:
{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0.

另外一個例子，在 n-维歐幾里得空間，

:\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}

其中

:r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

在 n=3 和 n=5  才能形成雙調和方程式。

雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right)\right)

• \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r^2}
• \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^4}
• \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r}
• \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} = 0

可用分離變數法求解，其解為 。