拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。
敘述
設
- \mathcal{H}是實希爾伯特空間，其內積記作\langle\cdot,\cdot\rangle，導出範數\|\cdot\|，
- a(\cdot,\cdot)是雙線性型，使得
:* 在\mathcal{H}\times\mathcal{H}上連續：
::\exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|，
:* 在\mathcal{H}上強制（有稱為\mathcal{H}－橢圓性)：
::\exists \,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 ，
- L是\mathcal{H}上的連續線性型。
那麼存在唯一的u \in \mathcal{H}，使得對所有v\in\mathcal{H}都有a(u,v)=Lv：
:(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=Lv。
而且如果a是對稱的，那麼 u 是\mathcal{H}中唯一的元素，使得以下泛函取最小值J:\mathcal{H}\rightarrow\R，J(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-Lv對所有v\in\mathcal{H}，即：
:(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)。
證明
一般情形
套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的f\in\mathcal{H}，使得Lv=\langle f,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。
對所有u\in\mathcal{H}，映射v\mapsto a(u,v)是\mathcal{H}上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的A_u\in\mathcal{H}，使得a(u,v)=\langle A_u,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。易知算子A:u\mapsto A_u 是一個\mathcal{H}上連續線性自同態。由此可把(1)表示成如下等價形式：
:\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f
要證明此命題，只要證得A是從\mathcal{H}到\mathcal{H}的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。
從a的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何v\in\mathcal{H}
:\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|
從而知對任何v \in \mathcal{H}
:\|Av\| \geq \alpha\|v\| (*)。
這證明了A是單射。
要證明滿射，考慮算子A在\mathcal{H}內的像\mathcal{Z}。
不等式(*)表示，如A u_n是柯西序列，那麼u_n 是\mathcal{H}內的柯西序列。由\mathcal{H}的完備性，u_n收斂至u \in \mathcal{H}。因A連續，得出A u_n收斂至A u。
\mathcal{Z}因此為\mathcal{H}中的閉子空間，由投影定理可知\mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}。
再設元素w \in \mathcal{Z}^{\perp}，從定義有\langle Aw,w\rangle = 0，因此
:\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0
故得w=0。所以\mathcal{Z}^{\perp}為\{0\}，證得A是滿射。
自同態A是雙射，故在\mathcal{H}內存在唯一的u使得Au=f，且可以由u=A^{-1}f得出。
附注
不用求出u，有其範數的上界估計
:\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}
其中\|\cdot\|' 表示對偶空間\mathcal{H}^*的範數。
對稱情形
如果雙線性型a對稱，那麼對所有w\in\mathcal{H}有：
:J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-Lw\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)
因u是命題(1)的唯一解，有
:J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)
從a的強制性有：
:J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2
取v = u+w，從上式有J(u) \leq J(v)對任意v\in\mathcal{H}成立，因而得到(2)的結果。
應用
這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在\mathcal{H}內求u，而是在\mathcal{H}的有限n維子空間\mathcal{H}_n內求u_n，那麼
- 如果a對稱，以a為內積，u_n是u的投影。
- 給出\mathcal{H}_n的基(\varphi_i)，上述問題化為求解線性方程組：
:\underline{\underline{A}} \underline{u_n} = \underline{b}
其中A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i)，b_i=L\varphi_i。
Lax-Milgram theorem
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