比例論

在數學中，一個等比關係（proportion）或比例式，指的是兩個比例（proportionality 或 ratio）的相等關係，記為 a:b=c:d ；亦即，\frac{a}{b}=\frac{c}{d}。比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關係的理論。

歷史
畢達哥拉斯學派的比例論
畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）\sqrt[]{2}，這破壞了他們的比例論：
:如果兩個物體的比例是相同的，以數學式來表示，是一個等比關係 a:b = c :d。其中，a, b, c, d 是正整數。而且，存在一個正整數 n 使得 a=nc 與 b=nd。
無理數的存在，表示物體的比例可能無法以正整數來表示，這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

尤得塞斯的比例論
為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：
: a:b=c:d 若且唯若底下三個等式關係成立：
: ma
: ma = nb \implies mc = nd
: ma > nb \implies mc > nd
: 其中 m, n 為正整數（幾何量的整倍數）。
這個定義迴避了數系的規範，因此，即使 a,b,c,d 是無理數，等比關係也可以成立。

參考來源
參考

• Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

参见

• 比例
• 比