散在单群

散在单群（）是有限单群分类定理指定的26个特殊单群，它们都是有限单群，但不在18个无限族之中。另外，在有些数学家眼中，与李型群密切相关的Tits 群会被看做第27个散在单群。
列表

• Mathieu 群 M_{11}、M_{12}、M_{22}、M_{23}、M_{24}；
• Janko 群 J_1、J_2 或 HJ、J_3 或 HJM、J_4；
• Conway 群 Co_\mathit{1}、Co_\mathit{2}、Co_\mathit{3}；
• Fi_{22}、Fi_{23}、Fi_{24}'或F_{3+}；
• HS；
• McL；
• He 或 F_{7+} 或 F_7；
• Ru；
• Suz 或 F_{3-}；
• O'N
• HN 或 F_{5+} 或 F_5；
• Lyons 群 Ly；
• Th 或 F_{2+} 或 F_2；
• 小魔群 B 或 F_{2+} 或 F_2；
• 魔群 M 或 F_1。

子商关系
所有 26 个散在单群中，有 20 个可看作魔群的（非正规）子群或子群的商，被 Robert Griess 称作幸福家庭 (Happy Family)。在此之外的 6 个为 J_1、J_3、J_4、O'N、Ru 和 Ly，被称作**' (pariahs)

幸福家庭的20个群可以被分为3代：
第一代
Mathieu 群：5个，M_{11}、M_{12}、M_{22}、M_{23}、M_{24}；他们是 n 个点上的多重传递置换群（n = 11, 12, 22, 23, 24 ）。
第二代
7个，它们与利奇格有关，这是一个24维空间中的晶格结构。这七个群是24维利奇格自同构群的全部子商：Co_\mathit{1}、Co_\mathit{2}、Co_\mathit{3}、Suz、McL、HS、J_2。
第三代
8个，由怪兽群本身以及其他密切相关的子群组成。

Tits 群
Tits 群是一个特别的单群，它基于铃木-李群，但严格来说并不是其成员。1961年，数学家发现了一族有限单群2F4(22n+1)，但这一族的首个成员2F4(2)不是单群，它的导出子群2F4(2)′是单群，这就是Tits 群。因此，Tits 群既可以被看作李型群的成员，也可以被看作第27个散在单群。Tits 群也是怪兽群的子商，如果按上一章节的标准分类，应该被分到第三代。

参考文献