。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如，紅色的環反映了i^2=1、i^3 = -i 和 i^4 = 1，亦反映了(-i)^2 = -1、(-i)^3 = i 和 (-i)^4 = 1。]]
在群論裡，四元群 Q_8 (Quaternion Group) 是指一個階為8的非交換群，常被簡寫為 Q，且用乘法的形式表示。包含下列8個元素：
:Q = \{ 1,i,j,k,-1,-i,-j,-k \}
其中，1 代表單位元素，且 (-1)^2 = 1。對於每個元素 a\in Q，有 (-1)a = -a = a(-1) 的關係。另外，
:i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
Q 的凱萊表如下：
需要特別留意，這個群不是交換群，例如 ij = -ji \neq ji。Q 有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個 Q 的子群都是其正規子群，但這個群不是交換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個 Q。
在抽象代數裡，可以造出一個其基底為 \{ 1,i,j,k \} 的四維實向量空間，並使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數，稱為一個四元數的除環。需要注意的是，這不是在 Q 上的群代數（其應該是8維的）。相反地，也可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素 \{ 1,i,j,k,-1,-i,-j,-k \} 所組成之乘法子群作為四元群。
i,j,k 都是 Q 中階為4的元素，任意選擇其中兩個就可以生成出整個群。Q 有著下列的展現 (presentation)：
:\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle
其中可以取 i=x、j=y 及 k=xy。
Q 的中心及交換子群為 \{ 1, -1 \}。其商群 Q/\{ 1,-1 \} 同構於克萊因四元群 (Klein four-group) V。而 Q的內自同構群 (Inner Automorphism Group) 同構於 Q 同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。Q 的自同構群會同構於對稱群 S_4。Q 的外自同構群因此為 S_4/V \cong S_3。
四元群 Q 亦可視為是作用於在有限體 \mathbf{GF}(3) 上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像，請見[http://finitegeometry.org/sc/9/3x3.html 圖像化GL(2,p)]。
廣義四元群
一個群若被稱為廣義四元群，則表示其有一個展現
:\langle x,y \mid x^{2^{n-1}} = 1, x^{2^{n-2}} = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle
其中 n>3 為整數。這個群的階為 2^n。原本的四元群為 n=3 時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群，其生成元 (generator) 為
:x = e^{2\pi i/2^{n-1}}
:y = j\,
廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個交換子群都是循環群的性質。可證明一具有此性質（每個交換子群都是循環群）的有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。
另見
- 四元數
- 克萊因四元群
- 雙循環群
- 赫爾維茨四元數
- 十六胞
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