在群論中，凱萊定理（）聲稱所有群 G 都與在 G 上的對稱群 S_G 的一個子群同構。這代表我們可以將 G 的群運算視為在 G 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。
集合 G 的置換是任何從 G 到 G 的雙射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群，稱為「 G 上的對稱群」，并記為 \text{Sym}(G)。
凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 (\mathbb{R}, +)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。
歷史
Burnside
將其歸功於Jordan，但是
Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。
定理的證明
令 G 為一個群，由逆元的唯一性可以得出對于任何 G 中元素 g ，有 g \cdot G = G ，以及 gx = gy \iff x = y 其中 \iff 是邏輯關係當且僅當的記號。所以左乘 g 充當了雙射函數 f_g : G \rightarrow G ，其定義為 f_g(x) = g \cdot x。所以， f_g 是 G 的置換，并因此是 \text{Sym}(G) 的一個元素。
如下定義 \text{Sym}(G) 的子集 K
: K = \{f_g \mid g \in G; 并且對所有 x \in G 有 f_g(x) = g \cdot x\}
K 是同構於 G 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 T : G \rightarrow \text{Sym}(G) ， T(g) = f_g 。(對 \text{Sym}(G) 中的複合使用"·")， T 是一個群同態，這是因為所有 G 中的 x ，有
: (f_g \cdot f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h \cdot x) = g \cdot (h \cdot x) = (g \cdot h) \cdot x = f_{g \cdot h}(x)
: T(g) \cdot T(h) = f_g \cdot f_h = f_{g \cdot h} = T(g \cdot h)
同態 T 也是一個單射，因為 T(g) = id_G （\text{Sym}(G) 中的單位元）蘊含了對于所有 G 中使得 g \cdot x = x 的 x 。選取x為G的單位元e產生g = g*e = e。
另一個 T 為單射的證明是因為可以從 g \cdot x = g \cdot x' 推出 x = x' 。
因此 G 同構於 T 的像，即子群 K 。
T 有時叫做 G 的正規表示。
另一个證明
另一个證明使用了群作用的概念。考慮群G為G-集合，可以證明它有置換表示\phi。
首先假設G=G/H帶有H=\{e\}。則根據G-軌道分類這個群作用是g.e（也叫做軌道-穩定集定理）。
現在這個表示是忠实的，如果\phi是單射，就是說，如果\phi的核是平凡的。假設g ∈ ker \phi，則g=g.e=\phi(g).e，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為g ∈ ker \phi, \phi(g)=e并因此ker \phi是平凡的。則im \phi 并因此利用第一同構定理得出結論。
對正規群表示的注記
單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。
正規群表示的例子
Z2 = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (12)。
Z3 = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。
Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。
克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。
S3（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：
引用
參見
*米田引理
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