外自同構群
抽象代數的群論中，群G的外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。 G的一個自同構如不是內自同構，便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同構，同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的複合，因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素，所以可定義出…
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共軛閉包
在群論中，群 G 的子集 S 的共軛閉包是生成自 SG 的 G 的子群，即 SG 在群運算下的閉包，這里的 SG 是 S 元素的共軛的集合： :SG = {g−1sg | g ∈ G 并且 s ∈ S} S 的共軛閉包記為 G> 或 G。 S 的共軛閉包總是 G 的正規子群；事實上，它是包含 S 的最小的 G 的正規子群。為此，共軛閉包也叫做 S 的正規閉包或者 S 生成的正規子群。正規閉包也可以刻畫為包含 S 的所有 G 的正規子群的…
合成列
在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 \{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M，使每個子商 M_i/M_{i+1} 皆為單模；這些單模稱為合成因子，n 稱為合成長度，都是 M 的不變量。亦可考慮 M 的子模範疇 \mathcal{A}，此時 [M] \in K(\m…
初等群論
在數學中，群 定義為集合 G 和叫做“乘積”并指示為中綴 "" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, b 和 c 是 G 的任意元素。則: A1, 封閉性。 a*b 在 G 中； A2, 結合律。(a**b)*c = a(b**c)； A3, 單位元。存在一個 G 中的單位元 e 使得 a**e = e*a = a。 G 的單位元 e 據下述定理 1.4 是唯一性的； A4，逆元。對於每個 G 中 a，存在一個…
考克斯特群
在數學中，考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中，二面體群與正多胞體的對稱群都是例子；此外，根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。 形式定義 所謂考克斯特群，是一個群 W 寫成如下的表達式，即由滿足一些交互關係的生成元生成的群 :\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rig…
全形 (數學)
在數學的群論中，一個群G的全形Hol(G)是一個特定的群，同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積或交換群來描述。 以半直積描述 記群G的自同構群為Aut(G)，則G的全形Hol(G)是 :\operatorname{Hol}(G)=G\rtimes \operatorname{Aut}(G) 其中的外半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的運算如下：令(g,\alpha), (h,\beta)為Hol(G…
圓群
在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 :\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}. 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。 圓群的符號T源自於Tn（n個T的直積）幾何上是個n-環面的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。 基本介紹 思考圓群的一種方法是描述其「角度」如何相加，其中只有0至360度的角度是被允許的…
群範疇
在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。 與其他範疇的關係 群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I: Mon→Grp是右伴隨函子；而另一個K: Mon→Grp則是左伴隨函子；其中I: Mon→Grp是將所有的…
階 (群論)
在群論這一數學的分支裡，階這一詞被使用在兩個相關連的意義上： 一個群的階是指其 基數}-，即其元素的個數； 一個群內的一個元素a之階（有時稱為週期）是指會使得am = e的最小正整數m（其中的e為這個群的單位元素，且am為a的m次冪）。若沒有此數存在，則稱a有無限階。有限群的所有元素都有有限阶。 一個群G的階被標記為ord(G)或|G|，而一個元素的階則標記為ord(a)或|a|。 例子 例子：包含三個物件的所有置換之對稱群S3會有下面…
類函數
定義 在數學中，一個類函數是一個群G上的函數f，使得f在G的共軛類上取常數值。換言之，f在共軛映射下不變。這些函數在群表示理論中佔有基礎地位。 性質 一個線性表示的特徵標是類函數；可以證明：若G為有限群，F是一個域，且\mathrm{char}(F)不整除G，則G上取值在F裡的類函數係由特徵標展成，此時類函數構成群代數F[G]的中心。 文獻 J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Represen…
Just-infinite群
群論中一個無限群G稱為just-infinite，如果G的所有真商群都是有限群，也就是說所有非平凡正規子群都有有限指數。 例子 無限循環群C_\infty 無限二面體群D_\infty 無限單群 參考 McCarthy, D., [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160210604/pdf Infinite groups whose proper quotient grou…
Free-by-cyclic群
在群論中，如果有一個自由正規子群F，使得商群G/F是循環群，则群G稱為free-by-cyclic群， 換言之，如果G是一個循環群對一個自由群的群擴張，则G是一个free-by-cyclic群。 若F是有限生成群，則稱G是(finitely generated free)-by-cyclic群。 參考 A. Martino and E. Ventura (2004), [http://www.crm.cat/en/Publication…
群上同調
在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 起源 群論中的指導思想之一，是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 G-模的特例：一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 G 在 M 上的群作用 G \to \mathrm{End}(M)。等價的說法是：M 是群環 \Z[G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m \mapsto gm。全體 G-…
二面體群
有正六邊形的二面體對稱。]] 在數學中，二面體群 D_{2n} 是正 n 邊形的對稱群，具有 2n 個元素。某些書上則記為 D_n。除了 n=2 的情形外，D_{2n} 都是非交換群。 生成元與關係 抽象言之，首先考慮 n 階循環群 C_n。反射 \tau: x \mapsto x^{-1} 是 C_n 上的自同構，而且 \tau^2 = \rm{id}。定義二面體群為半直積 : D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \ta…
海森伯群
在數學裡，海森堡群是以维尔纳·海森堡來命名的，為如下之三階上三角矩陣所組成的群： :\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}. 元素a、b、c可以取成某種交換環，一般會取成實數環或整數環。 例子 連續海森堡群 若a、b、c為實數，則可得到一個連續海森堡群 H3(R)。其為一個幂零李群。 離散海森堡群 若a、b、c為整數，則可得到一個離散海森堡群 H…
群擴張
在抽象代數中，設 Q 為群，若存在群 G, N，及群的正合序列 : 1 \to N \stackrel{i}{\to} G \stackrel{p}{\to} Q \to 1 （換言之，i 是單射、p 是滿射，且 \mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(i)；是故可視 N 為 G 的正規子群， G/N \simeq Q。）則稱群 G 為 Q 的群擴張，或稱 Q 對 N 的扩张。 由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等…
上同調維數
代數中，上同調維數是群的不變量，量度群的表示的同調複雜度。上同調維數在幾何群論、拓撲學、代數數論中有重要應用。 群的上同調維數 就如大多數的同調及上同調不變量，上同調維數涉及選取「係數環」R，最常見的特例是整數環R = Z。設G是離散群，R是非零有單位元的環，RG是其群環。群G的上同調維數小於或等於n，記為cdR(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一個長為n的投射分解，也就是有投射RG-模P0, …, Pn，及RG-模同態dk: Pk→P…
群的直和
在數學中，群 G 叫做子群的集合 {Hi} 的直和，如果 每個 H*i 是 G 的正規子群， 每對不同的子群都有平凡的交集，并且 G = i}>；換句話說，G 是子群 {Hi} 生成的。 解說 如果 G 是子群 H 和 K 的直和，則我們寫為 G = H + K；如果 G 是子群集合 {Hi} 的直和，我們經常寫為 G = ∑Hi。不嚴格的說，直和同構於子群的弱直積。 在抽象代數中，這種構造方法可以推廣為向量空間、模和其他結構的直和；詳…
弗拉蒂尼引理
在有限群論，弗拉蒂尼引理指： : 若有限群G有正規子群H，H有西羅子群P，則 G = N_G(P) H，其中 N_G(P) 是 P 的正規化子。 它以Giovanni Frattini命名。他以此引理證明一個與弗拉蒂尼子群有關的定理。 證明 因為 H \triangleleft G, gPg^{-1} \le H \forall g \in G 。因為|g^{-1} P g| = |P| ，所以可以根據西羅定理，在H內， g^{-1} …