在數學裡，海森堡群是以维尔纳·海森堡來命名的，為如下之三階上三角矩陣所組成的群：
:\begin{pmatrix}
1 & a & c\\
0 & 1 & b\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
元素a、b、c可以取成某種交換環，一般會取成實數環或整數環。
例子
連續海森堡群
若a、b、c為實數，則可得到一個連續海森堡群 H3(R)。其為一個幂零李群。
離散海森堡群
若a、b、c為整數，則可得到一個離散海森堡群 H3(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群，有兩個生成元
:x=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
并满足关系
: z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy 。
其中，
:z=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
為 H3 中心之生成元。（x-1，y-1和z-1即分别将x，y和z主对角线上的1改为-1）
依貝斯定理所述，其有一個4目的多項式增長率。
模p海森堡群
若取a、b、c在Z/pZ內，則可得到一個模 p 海森堡群。其為p3目的群，其中有兩個生成元x和y*，满足关系
: z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^p=y^p=z^p=1,\ xz=zx,\ yz=zy 。
一般海森堡群
更一般性地，海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如，令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律
:(v_1,t_1)\cdot(v_2,t_2) =\left (v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2)\right).
的集合。
海森堡群是加法群V的中心擴張。因此，會有一個正合序列
:0\to\mathbb{R}\to H(V)\to V\to 0.
每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(ej,fk) = δjk的達布基{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成
:v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a.
其中的qa和pa為正則坐標。
若{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n是V的一個達布基，然後令{E為R的一個基，則{ej,fk, E}1 ≤ j,k ≤ n會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量
:v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a+tE
可以等同於下列矩陣
:
\begin{bmatrix}
1 & p& t+\frac{1}{2}pq\\
0 & 1 & q\\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}
因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示。
和外爾代數的關連
量子力學的外爾觀點
視為一子黎曼流形
另見
參考
- Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
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