在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 \{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M，使每個子商 M_i/M_{i+1} 皆為單模；這些單模稱為合成因子，n 稱為合成長度，都是 M 的不變量。亦可考慮 M 的子模範疇 \mathcal{A}，此時 [M] \in K(\mathcal{A}) 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。
合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。
群的情形
設 G 為群，G 的合成列是對應於一族子群
: \{e\} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_n = G
滿足 H_i \triangleleft H_{i+1}，使其子商 H_{i+1}/H_i 皆為非平凡的單群；易言之，H_i 是 H_{i+1} 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。
模的情形
固定環 R 及 R-模 M。M 的合成列是一族子模
: \{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M
其中每個子商 J_{k+1}/J_k 皆為非平凡的單模 。易言之，J_k 是 J_{k+1} 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 R 是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 R-模皆有合成列。
例子
例子. 考慮 12 階循環群 C_{12}，它具有三個相異的合成列
: C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12},
: C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_4\triangleleft C_{12},
: C_1\triangleleft C_3\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}
合成因子分別為
: C_2,C_3,C_2
: C_2,C_2,C_3
: C_3,C_2,C_2
其間僅差個置換。
若尔当-赫尔德定理
: 定理. 若群 G〔或 R-模 M〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。
略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列
: \{0\} = M_0 \subset \cdots \subset M_r = M
: \{0\} = M'_0 \subset \cdots \subset M'_s = M
對 \mathrm{min}(r,s) 行數學歸納法。若 \mathrm{min}(r,s)=0 則 M=0，若 \mathrm{min}(r,s)=1 則 M 是單模。以下假定 r, s \geq 2。
若 M_{r-1}=M_{s-1}，據歸納法假設，r-1=s-1 且 M_{i+1}/M_i 與 M'_{i+1}/M'_i（0 \leq i \leq r-2）之間僅差置換。此外 M/M_{r-1}=M_/M'_{s-1}，故定理成立。
設 M_{r-1} \neq M'_{s-1}。此時必有 M_{r-1}+M'_{s-1}=M。置 N := M_{r-1} \cap M'_{s-1}，於是
: M/M_{r-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1} \simeq M'_{s-1}/N
: M/M'_{s-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1} \simeq M_{r-1}/N
取 N 的合成列 \{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t = N，依上式知
: \{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M_{r-1} \subset M \quad \ldots (*)
: \{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M'_{s-1} \subset M \quad \ldots (**)
皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 M，則 () 與 (*) 的合成因子分別等同於合成列 M_\bullet, M'_\bullet 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。
參見
- 正規列
- 長度 (模論)
站外連結
*
评论 (0)