全形 (數學)

在數學的群論中，一個群G的全形Hol(G)是一個特定的群，同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積或交換群來描述。

以半直積描述
記群G的自同構群為Aut(G)，則G的全形Hol(G)是
:\operatorname{Hol}(G)=G\rtimes \operatorname{Aut}(G)
其中的外半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的運算如下：令(g,\alpha), (h,\beta)為Hol(G)的元，其中g, h是G的元，\alpha, \beta是G的自同構，則
:(g,\alpha)(h,\beta)=(g\alpha(h),\alpha\beta)。

以交換群描述
群G以左乘和右乘作用在自身的元素上，定義出兩個從G到G上的對稱群Sym(G)的群同態。左乘對應的群同態為
:\lambda:\ G\to\operatorname{Sym}(G)，\lambda(g)(h)=g\cdot h；
右乘對應的群同態為
:\rho:\ G\to\operatorname{Sym}(G)，\rho(g)(h)=h\cdot g^{-1}。
這兩個群同態稱為G的左及右正規表示，並且都是單射（凱萊定理）。換言之，G同構於\lambda(G)和\rho(G)。G的全形\operatorname{Hol}(G)是\lambda(G)在\operatorname{Sym}(G)中的正規化子。

參考
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