群擴張

在抽象代數中，設 Q 為群，若存在群 G, N，及群的正合序列
: 1 \to N \stackrel{i}{\to} G \stackrel{p}{\to} Q \to 1
（換言之，i 是單射、p 是滿射，且 \mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(i)；是故可視 N 為 G 的正規子群， G/N \simeq Q。）則稱群 G 為 Q 的群擴張，或稱 Q 對 N 的扩张。

由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於
: 1 \to N \to N \times Q \to Q \to 1
則稱此擴張為平凡擴張。當 N 落在 G 的中心時，稱之為中心擴張。

分類
一般的群擴張不易分類。若限定 G 為阿貝爾群，則 Q 對 N 的擴張等價類一一對應於 \mathrm{Ext}^1_\Z(Q,N)（參見條目 Ext函子）。

另一方面，若在群擴張 0 \to A \to E \to G \to 1 中，A 為阿貝爾群，可任取一截面 s: G \to E（s 不一定是群同態），群 G 以共軛方式 a \mapsto s(g)as(g)^{-1} 在 A 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 H^2(G,A) 分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張
利用同樣作法，也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列
: 0 \to \mathfrak{a} \to \mathfrak{e} \to \mathfrak{g} \to 0
若 [\mathfrak{a}, \mathfrak{e}]=0，稱之為中心擴張。

參考資料
*