弗拉蒂尼引理

在有限群論，弗拉蒂尼引理指：

: 若有限群G有正規子群H，H有西羅子群P，則 G = N_G(P) H，其中 N_G(P) 是 P 的正規化子。

它以Giovanni Frattini命名。他以此引理證明一個與弗拉蒂尼子群有關的定理。

證明
因為 H \triangleleft G, gPg^{-1} \le H \forall g \in G 。因為|g^{-1} P g| = |P| ，所以可以根據西羅定理，在H內， g^{-1} P g 與 P 共軛 ，故對於任意的g \in G，存在 h \in H 使得 P = h^{-1} (g^{-1} P g) h = (gh)^{-1} P (gh) 。因此 gh \in N_G(P), g \in N_G(P) h^{-1} \in N_G(P) H \forall g \in G 。

應用

• 它應用於證明以下陳述：所有有限冪零群都是的西羅子群的直積。
• 若P是西羅子群、G是有限群， N_G ( N_G (P) ) = N_G(P) 。
• 更一般的結果：若P是西羅子群、G是有限群，且 N_G(P) \le M \le G ，則 M = N_G(M) 。