有正六邊形的二面體對稱。]]
在數學中，二面體群 D_{2n} 是正 n 邊形的對稱群，具有 2n 個元素。某些書上則記為 D_n。除了 n=2 的情形外，D_{2n} 都是非交換群。
生成元與關係
抽象言之，首先考慮 n 階循環群 C_n。反射 \tau: x \mapsto x^{-1} 是 C_n 上的自同構，而且 \tau^2 = \rm{id}。定義二面體群為半直積
: D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}
任取 C_n 的生成元 \sigma，D_{2n} 由 \sigma, \tau 生成，其間的關係是
: \sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,
D_{2n} 的元素均可唯一地表成 \sigma^k \tau^h，其中 0 \leq k ，h = 0,1\,。
幾何詮釋
二面體群也可以詮釋為二維正交群 O(2) 中由
: \sigma := \begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\ \sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix} （旋轉 \frac{2\pi}{n} 弧度）
: \tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} （對 x 軸反射）
生成的子群。由此不難看出 D_{2n} 是正 n 邊形的對稱群。
性質
- D_{2n} 的中心在 n 為奇數時是 \{e\}，在 n 為偶數時是 \{e, \sigma^{n/2}\}。
- 當 n 為奇數時，D_{4n} 同構於 D_{2n} 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：
: \sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon)
其中 h, \epsilon = 0,1，0 \leq k 。
- 當 n 為奇數時，D_{2n} 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 n 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 n 邊形的頂點。
- 若 m|n，則 D_{2m} \leq D_{2n}，由此可導出 D_{2n} 共有 d(n)+\sigma(n) 個子群，其中的算術函數 d(n) 與 \sigma(n) 分別代表 n 的正因數個數與正因數之和。
表示
當 n 為奇數時，D_n 有兩個一維不可約表示：
: \tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)
當 n 為偶數時，D_n 有四個一維不可約表示：
{{Annotated image
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|height = 170
|image = Dihedral group D8 on a Chinese stop sign.svg
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|caption = 正八邊形的停車標誌在D_{8}的群作用下的結果
|annotations =
}}
: \tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)
其餘不可約表示皆為二維，共有 \lfloor n/2 \rfloor 個，形如下式：
: \sigma\mapsto\begin{pmatrix} \omega^h & 0 \\ 0 & \omega^{-h}\end{pmatrix}\;\tau\mapsto\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
其中 \omega 是任一 n 次本原單位根，h 過 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}。由 h_1, h_2 給出的表示相等價若且唯若 h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n。
文獻
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