正合序列

在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

定義
在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列
:G_0\;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}\; G_2 \;\xrightarrow{f_3}\; \cdots \;\xrightarrow{f_n}\; G_n
稱之為正合序列，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核：

: \operatorname{im}(f_k) = \ker(f_{k+1})

上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。

簡單例子
下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以平凡}-群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

• 序列0 → A → B 為正合序列，若且唯若從A 至B 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。
• 在對偶時，序列B → C → 0 為正合序列，若且唯若從B 至C 的映射，其像為整個C，亦即若且唯若該映射為滿射。
• 因此，序列0 → X → Y → 0 為正合序列，若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從X 至Y 的同構。

短正合序列
短正合序列為具有下列形式的正合序列
:0 \to A \;\xrightarrow{f}\; B \;\xrightarrow{g}\; C \to 0

如上所述，對任何一個短正合序列，f 一定為單射，且g 一定為滿射，且f 的像會等於g 的核。因此，可導出一同構
:C \cong B/\operatorname{im}(f)

若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列0\longrightarrow A' \stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A* \longrightarrow0 分裂：

• g有截面（即存在s: A \rightarrow A使得g \circ s = \mathrm{id}_{A}）
• f有縮回（即存在r: A \rightarrow A'使得r \circ f = \mathrm{id}_{A'}）
• 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

: 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A\longrightarrow A\longrightarrow0
:其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證A可以表為A'與A*的半直積；例如我們可考慮群同態
: 1 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0
其中S_3是3次對稱群。\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow S_3由n\; \mathrm{mod}\; 3 \longmapsto (123)^n 給出，它的像是交代群A_3，商為\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}；但S_3無法分解成\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 。

將正合序列拆解為短正合序列
正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列
:\cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow \cdots
設
:Z_n:=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) = \mathrm{Im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{Coker}(A_{n-2}\to A_{n-1})
其中2 \leq n \leq 4，這就給出了一個短正合序列
: 0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0

一般而言，設A_\bullet為鏈複形，我們同樣定義Z_n :=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1})；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈0 \rightarrow Z_n\rightarrow A_n\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0的正合性。

推廣
給定一個短正合序列
: 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A*\longrightarrow0
有時也稱A為A*經由A'的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

長正合序列
若有鏈複形的短正合序列：
: 0 \longrightarrow C'_\bullet \longrightarrow C_\bullet \longrightarrow C*_\bullet \longrightarrow 0

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列
: \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C_\bullet)\longrightarrow H_n(C'_\bullet)\longrightarrow H_n(C_\bullet)\longrightarrow H_n(C_\bullet) \longrightarrow H_{n-1}(C'_\bullet) \longrightarrow \cdots

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是H^n(C*^\bullet) \to H^{n+1}(C'^\bullet)。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見

• 正合函子
• 鏈複形