正合序列
在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。 正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。 定義 在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列 :G_0\;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}…
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阿貝爾範疇
在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 定義 阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。 一個範疇\mathcal{A}若滿足下述條件，則稱阿貝爾範疇： \mathcal{A}是加法範疇。 所有態射皆有核與上核。 所有態射皆為嚴格態射。 只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇。 若取k為一交換環，則…
正合函子
在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。 阿貝爾範疇間的正合函子 設 \mathcal{C}, \mathcal{C}' 為阿貝爾範疇，F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 為加法函子。若對每個正合序列 : \cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cd…
預可加範疇
在範疇論中，一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集\mathrm{Hom}(A,B)帶有交換群結構，並使得態射合成為雙線性運算之範疇。 形式地說，預可加範疇是在交換群的么半範疇上濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇，其中的Ab是交換群範疇的縮寫。舊文獻有時也將預加法範疇稱為加法範疇；在此則採當代觀點，區別預加法範疇與可加範疇。 一般而言，固定一個交換環k，我們可以定義k-預可加範疇為在k-模的么半範疇上濃化的範疇，即：使任兩個對象…
可加範疇
在範疇論中，一個可加範疇是一個存在有限雙積的預加法範疇。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指預可加範疇，在當代理論中則傾向於區別兩者。 一如預可加範疇，對一交換環k也能定義k-可加範疇，可加範疇是k=\Z的情形。 例子 最直接的例子是交換群範疇Ab，此時的有限雙積即群的有限直積。其它常見例子包括： 一個環上的左模範疇，包括域或除環上的向量空間範疇。 環上的矩陣代數。 基本性質 加法範疇是預可加範疇的特例，因此具有預可加範疇的性質，在此僅考慮可…
雙積
在範疇論中，雙積是直積在預加法範疇中的推廣，它同時是範疇論意義下的積與上積。 定義 令 \mathcal{C} 為預加法範疇，因而任兩個對象 A, B 間的態射集 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) 是交換群。給定有限個對象 A_1, \ldots, A_n，假設有： 對象 A，通常表作 A_1 \oplus \cdots \oplus A_n。 態射 p_k : A \to A_k（稱為射影） 態射 i_k: …