圖示 (範疇論)
在範疇論中，圖示是集合論中的索引族於範疇論中的類比。兩者主要的不同在於，在範疇論中，態射也需要索引。集合的索引族是指由一個固定的集合索引的一組集合，亦可以說是由一個固定的索引「集合」映射至一組「集合」的「函數」。圖示則是指由一固定範疇索引的一組物件及態射，亦可以說是由一固定索引「範疇」映射至某些「範疇」的「函子」。 圖示及錐體是用來定義極限的核心概念。 定義 在一範疇 C中類型J的圖示是指一個（協變）函子 :D : J → C 範疇J被…
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共 11 篇文章
單子 (範疇論)
數學的分支範疇論中，單子（），又稱三元組（）、標準構造（）、基本構造（），是一個（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。 導論與定義 單子是一類（連同其他資訊）。例如，若F和G為一對伴隨函子，F為G的左伴隨，則複合G \circ F是單子。若F與G互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性…
伴隨函子
在範疇論中，函子F, G若滿足\mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-))，則稱之為一對伴隨函子，其中G稱為F的右伴隨函子，而F是G的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 定義 設F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1為函子，若存在雙函子的同構 : \mathrm{Hom…
函子
在範疇論中，函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇範疇內的態射。 函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數对象（如基本群、同調群或上同調群）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡爾納普使用「函子」這一詞和函數之間的相關來類比謂詞和性質之間的相關。對卡爾納普而言，不同於當代範疇論的用法，函子是個語言學的詞彙。對範疇論者…
可表函子
可表函子是在数学中范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。 从另外一个角度看，范畴的可表函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广。 定义 设 \mathcal{C} 为局部小范畴，并记集合范畴为 \mathbf{Set} 。对 \mathcal{C} 中…
函子範疇
在範疇論中，兩個範疇間的函子具有範疇結構，其中的對象是函子，而態射則為自然變換。函子範疇的重要在於： 許多常見的範疇是函子範疇。 任意給定範疇可嵌入一個函子範疇，函子範疇有比原範疇更好的性質，因而可在其上施行一些在原範疇中不可行的建構。 定義 設\mathcal{C}為小範疇（即：其對象構成一個集合而非真類），而\mathcal{D}為任意範疇。\mathcal{C} \to \mathcal{D}的函子構成一個範疇，其對象為函子，態射…
Tor函子
在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。 定義 設 R 為環。令 R-\mathbf{Mod} 為左 R-模範疇、 \mathbf{Mod}-R 為右 R-模範疇（若 R 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 B \in R-\mathbf{Mod}，考慮函子 : T_B(-) := - \otimes_R B 這是從 \mathbf{Mod}-R 至阿貝爾群…
正合函子
在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。 阿貝爾範疇間的正合函子 設 \mathcal{C}, \mathcal{C}' 為阿貝爾範疇，F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 為加法函子。若對每個正合序列 : \cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cd…
Ext函子
在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。 定義 設 \mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R 上的左模範疇 R-\mathbf{Mod}。固定一對象 A，定義函子 T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)，此為左正合函子，故存在右導函子 R^\bullet T_A(-)，記為 \mathrm{Ext}_\mathcal…
導出函子
在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。 動機 考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 \mathcal{A}, \mathcal{B}，及其間的加法函子 F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}。假設 F 為左正合函子，換言之，對 \mathcal{A} 中的任一短正合序列 : 0\to A …
預層 (范疇論)
在數學的一支，范疇論中，範疇C上的一V值預層F是一函子F:C^\mathrm{op}\to\mathbf{V}。“預層”常常被定義為Set值預層。若C是拓撲空間中所有開集構成的偏序集（作為範疇理解），那麼我們就回到了拓撲空間上的預層的概念。 預層間的態射被定義為函子間的自然變換，這使得C上所有預層的搜集構成了一個範疇\hat{C}。到\hat{C}的函子常被稱為Profunctor。 性質 一個局部小範疇C可以通過米田嵌入\mathrm…