在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。
定義
設 R 為環。令 R-\mathbf{Mod} 為左 R-模範疇、 \mathbf{Mod}-R 為右 R-模範疇（若 R 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 B \in R-\mathbf{Mod}，考慮函子
: T_B(-) := - \otimes_R B
這是從 \mathbf{Mod}-R 至阿貝爾群範疇 \mathbf{Ab} 的右正合函子（若 R 為交換環，則它是映至 R-\mathbf{Mod} 的右正合函子），因此能考慮其左導函子 L_\bullet T_B，記為 \mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)。
換言之，對任一左 R-模 A 取射影分解
: \cdots\rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow A\rightarrow 0
去掉尾項 A，並對 B 取張量積，得到鏈複形
: \cdots \rightarrow P_3\otimes B \rightarrow P_2\otimes B \rightarrow P_1\otimes B \rightarrow 0
並取其同調群，則得到 \mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)
此外，Tor 函子也能以 A \otimes_R - 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。
性質
- Tor 函子與直和交換：
: \mathrm{Tor}_n^R(\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j)
- 對任何 n \geq 1，\mathrm{Tor}_n^R 是從 (\mathbf{Mod}-R) \times (R-\mathbf{Mod}) 到 \mathbf{Ab} 的加法函子。若 R 是交換環，則它是從 (R-\mathbf{Mod}) \times (R-\mathbf{Mod}) 到 R-\mathbf{Mod} 的加法函子。
- 依據導函子性質，每個短正合序列 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0 導出長正合序列：
: \cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_{n+1}^R (M,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (K,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (L,B) \rightarrow\mathrm{Tor}_n^R (M,B)\rightarrow \mathrm{Tor}_{n-1}^R(K,B) \rightarrow \cdots
: 對第二個變數亦同。
- 若 R 為交換環，r \in R 非零因子，則
: \mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}
: 這是 Tor 函子的詞源。
- 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 n \geq 2，有 \mathrm{Tor}_n^\Z(-,-) = 0。
譜序列
設 A, B 為交換環，M 為 B-模，並固定一個環同態 A \to B。我們有雙函子的自然同構：
: (- \otimes_A B) \otimes_B M = - \otimes_A M
由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 A-模 N，有譜序列
: E^2_{pq} = \mathrm{Tor}_p^B(\mathrm{Tor}_q^A (N,B), M) \Rightarrow \mathrm{Tor}_{p+q}^A(N, M)
與平坦模的關係
一個右 R-模是平坦模的充要條件是 \mathrm{Tor}_1^R(M,-)=0。此時可推出 \forall n \geq 1, \; \mathrm{Tor}_n^R(M,-)=0。左 R-模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。
文獻
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1
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