數學的分支範疇論中，單子（），又稱三元組（）、標準構造（）、基本構造（），是一個（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。
導論與定義
單子是一類（連同其他資訊）。例如，若F和G為一對伴隨函子，F為G的左伴隨，則複合G \circ F是單子。若F與G互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮F \circ G，以研究伴隨關係，是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子（）。
嚴格定義
本條目中，\mathcal C皆表示某範疇。\mathcal C上的單子是函子T: \mathcal C \to \mathcal C，連同兩個自然變換，分別是單位\eta : 1_{\mathcal C} \to T（其中1_{\mathcal C}是\mathcal C上的恆等函子）與乘法\mu : T^{2} \to T（其中T^{2}是複合T \circ T，亦是\mathcal C到\mathcal C的函子），且要滿足下列**'：
- \mu \circ T\mu = \mu \circ \mu T（左右皆為T^{3} \to T的自然變換）。此處T\mu與\mu T經水平複合而得。
- \mu \circ T \eta = \mu \circ \eta T = 1_{T}（兩者皆為T \to T的自然變換）。此處1_{T}表示由函子T到自身的恆等自然變換。
以上兩式，亦可以下列交換圖複述：
記號T\mu與\mu T的含義，參見自然變換，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件X上：
定義中，若將\mu當成幺半群的乘法，則第一條公理類似的乘法結合律，而第二條公理類似單位元的存在性（由\eta給出）。準確而言，\mathcal C上的單子，可以等價地定義為\mathcal C的內函子範疇\mathbf{End}_{\mathcal C}中的。（該範疇的物件是C上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，幺半結構來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。
冪集單子
冪集單子\mathcal{P}是集合範疇\mathbf{Set}上的單子。其定義中，函子T取為冪集運算，即T(A)為集合A的冪集，而對於函數f : A \to B，T(f)將A的子集映至其像集，即T(f)(A') = f[A']。對每個集合A，有函數\eta_{A}: A \to T(A)，對每個元素a\in A映至單元子集\{a\}， 並有函數
:\mu_{A} \colon T(T(A)) \to T(A),
將A的若干個子集構成的族，映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子\mathcal P的二次疊代\mathcal{P} \circ \mathcal{P}，無法配備單子結構。
餘單子
取上節定義的範疇論對偶，便是餘單子（或餘三元組）的定義。簡單複述，範疇\mathcal C上的餘單子，是C^{\mathrm{op}}上的單子。所以，餘單子是由\mathcal C到\mathcal C的某個函子U，連同餘單位與餘乘法（）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數中，向量空間範疇（配備張量積）的餘幺半群較為重要，以餘代數之名為人所知。
歷史
單子的概念最早由於1958年提出，當時稱為「標準構造」（）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個問題。
其後，單子又出現於彼得·胡伯（）對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。
1965年，，及塞缪尔·艾伦伯格、二人分別獨立證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。
1963年，提出泛代數的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（）將該理論用單子的語言表達。單子本身來自拓撲方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《》引入，以其類似單子論中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代，在理論計算機科學中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。此後，有多種函數式編程語言仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。
例子
伴隨的複合
若有伴隨關係
:F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D : G
（即F為G的左伴隨，下同），則由此有\mathcal C上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合
:T = G \circ F,
而單位自然變換來自伴隨的單位\eta: \operatorname{id}_\mathcal C \to G \circ F，乘法自然變換源自伴隨的餘單位\varepsilon：
:T^2 = G \circ F \circ G \circ F \xrightarrow{G \circ \varepsilon \circ F} G \circ F = T.
反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的T代數的艾倫伯格－摩爾範疇C^T。
兩重對偶
給定域k，雙重對偶單子（）源自伴隨關係
:(-)^ : \mathbf{Vect}_k \rightleftarrows \mathbf{Vect}_k^{\mathrm{op}} : (-)^,
其中兩個函子(-)^皆將k向量空间V映至對偶空間V^ := \operatorname{Hom}(V, k)，所以對應的單子將向量空間V映至雙對偶V^{**}。對此有更廣泛的討論。
偏序集的閉包算子
偏序集(P, \le)可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且x到y有態射当且仅当偏序中x \le y。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接，相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。
自由遺忘伴隨
又舉例，設G為群範疇\mathbf{Grp}至集合范畴\mathbf{Set}的遺忘函子，將群映至其基集，又設F為自由函子，由\mathbf{Set}到\mathbf{Grp}，則F是G的左伴隨。此時，對應的單子T = G \circ F的作用是，輸入一個集合X，輸出自由群F(X)的基集，即字母取自\{x, x^{-1}: x \in X\}，且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。
該單子的單位變換，由包含映射
:\eta_X: X \rightarrow T(X)
給出，該包含映射將X的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是T(X)的元素。最後，單子的乘法
:\mu_X: T(T(X)) \rightarrow T(X)
是串接或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。
前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代数意義下的任意一代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇\mathbf{Vect}上，若T表示將向量空間V映至其张量代数T(V)的內函子，則相應有單位自然變換將V嵌入到其张量代数，並有乘法自然變換，在V處的分量是態射T(T(V))\to T(V)，將張量積之張量積展開化簡。
餘密度單子
只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為**'。例如，從有限集合範疇\mathbf{FinSet}到集合範疇\mathbf{Set}的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在\mathbf{Set}上，將任意集合X映至其上所有超滤子的集合\beta X。 類似例子見於。
單子的代數
給定範疇\mathcal C上的單子(T,\eta,\mu)，可以考慮\mathcal C中的\boldsymbol T代數物件。T在該些物件上的作用，與單子的單位與乘法相容。具體而言，\boldsymbol T代數(x,h)是\mathcal C中的物件x，連同態射h: Tx\to x（稱為該代數的結構映射），使得圖
皆可交換。
T代數間的態射f:(x,h)\to(x',h')是\mathcal C中的態射f:x\to x'，且要使可交換。於是，T代數及之間的態射組成範疇，稱為艾倫伯格－摩爾範疇（），記為\mathcal C^T.
例子
自由群單子上的代數
若T為前述自由群單子，則T代數是集合X，連同由X生成的自由群F(X)到X的映射（求值，），且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之，X本身就具有群結構，而F(X)至X的映射，是將字串按X的群乘法，計算所得的結果
分佈單子上的代數
另一個例子是集合範疇上的分佈單子（）\mathcal{D}，其將集合X映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈，是函數f : X \to [0,1]，僅於有限多個元素x \in X處取值非零，而各元素處取值之和為1。以符號表示，
:\mathcal{D}(X) = \left\{
f: X \to [0,1] : \begin{matrix}
\#\text{supp}(f)
可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集，即集合要配備二元運算+_r（對每個r \in [0,1]），滿足的公理比照歐氏空間中，凸組合(x, y) \mapsto rx + (1-r)y具備的性質。
對稱單子上的代數
另一個有用的單子，是交換環R的模範疇\mathbf{Mod}_R上的對稱代數單子
:\text{Sym}^\bullet(-): \mathbf{Mod}_R \to \mathbf{Mod}_R
將R模M映到各階冪的直和
:\text{Sym}^\bullet(M) = \bigoplus_{k=0}^\infty \text{Sym}^k(M)
其中\text{Sym}^0(M) = R。例如，\text{Sym}^\bullet(R^{\oplus n}) \cong R[x_1,\ldots, x_n]，左右兩邊作為R模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是交換R代數。類似地，也有反對稱張量單子\text{Alt}^\bullet(-)與全張量單子T^\bullet(-)，相應的代數分別是反對稱R代數與自由R代數，故
:\begin{align}
\text{Alt}^\bullet(R^{\oplus n}) &= R(x_1,\ldots, x_n),\\
\text{T}^\bullet(R^{\oplus n}) &= R\langle x_1,\ldots, x_n \rangle,
\end{align}
前者是R上添加n個生成元的自由反對稱代數，而後者則是n個生成元的自由代數。
E∞環譜中的交換代數
對於{{le|高度結構的環譜|Highly structured ring spectrum|可交換\mathbb{S}代數}}，亦有類似的構造，對於可交換\mathbb{S}代數A，對應單子上的代數是可交換的A代數。若\mathbf{Mod}_A表示A模的範疇，則可以考慮函子\mathbb{P}: \mathbf{Mod}_A \to \mathbf{Mod}_A，定義為
:\mathbb{P}(M) = \bigvee_{j \geq 0} M^j/\Sigma_j,
其中
:M^j = \underbrace{M\wedge_A \cdots \wedge_A M}_j.
此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換A代數的範疇\mathcal{C}_A。
單子與伴隨
如前文所述，任何伴隨關係皆產生單子。反之，每個單子T皆可由某個伴隨關係產生，即原範疇與T代數的艾倫伯格－摩爾範疇之間的自由－遺忘伴隨
:T(-) : \mathcal C \rightleftarrows \mathcal C^T : F.
其中，左伴隨T(-)將\mathcal C的物件x映到自由T代數T(x)，右伴隨F則將T代數(x, h)遺忘掉h，變回x。然而，通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子，該些伴隨關係組成範疇\mathbf{Adj}(\mathcal C,T)：物件是伴隨關係(F,G,\eta,\varepsilon)使得(GF, \eta, G\varepsilon F)=(T,\eta,\mu)，而態射是在\mathcal C一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此，艾倫伯格－摩爾範疇的自由－遺忘伴隨\mathcal C^T是\mathbf{Adj}(\mathcal C,T)的終物件，而始物件是**'\mathcal C_T，定義為\mathcal C^T中的自由T代數組成的完全子範疇，即僅包含形如T(x)的T代數，其中x歷遍\mathcal \mathcal C的物件。
單子伴隨
設有伴隨關係(F : \mathcal C \to \mathcal D,G : \mathcal D \to \mathcal C,\eta,\varepsilon)，對應單子為T，則函子G可分解為
:\mathcal D \xrightarrow{\tilde G} \mathcal C^T \xrightarrow{F} \mathcal C,
其中F是遺忘函子。換言之，對\mathcal D中任意物件Y，都能賦予G(Y)自然的T代數結構。若分解式中，首個函子\tilde G給出\mathcal D與C^T兩範疇間的等價，則形容該伴隨關係為單子的（）。後亦引申用作形容函子，若函子G: \mathcal D\to \mathcal C有左伴隨F，且該伴隨關係為單子的，則G亦稱為單子的。例如，群範疇與集合範疇間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子T上的T代數是群（見前文）。一般而言，若有伴隨關係(F : \mathcal C \to \mathcal D,G : \mathcal D \to \mathcal C,\eta,\varepsilon)為單子的，則單從\mathcal C的物件及其上的T作用，已足以重組出\mathcal D的物件。
貝克單子性定理
貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版：
若滿足以下三項條件：
*G為，換言之，G反映同構（），即對\mathcal D中每一支態射，其為同構當且僅當在G作用下的像為\mathcal C中的同構；
*\mathcal C有；
*G保；
則G為單子的。
例如，由緊豪斯多夫空间範疇\mathbf{CHaus}到集合範疇\mathbf{Set}的遺忘函子是單子的。然而，由任意拓撲空間範疇\mathbf{Top}到集合範疇\mathbf{Set}的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為同胚。
貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對拓撲斯論及有關的代数几何課題有用。
餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：
:- \otimes_A B : \mathbf{Mod}_A \rightleftarrows \mathbf{Mod}_B : F,
其中A, B皆為交換環，左伴隨用到的張量積\otimes_A的定義中，選定了環同態A \to B，而右伴隨F是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當B為忠實平坦A模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據（，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的B模，降成A模。所得的理論，廣泛應用於代數幾何。
用途
函数式编程中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見单子 (函数式编程)。
範疇論邏輯中，藉闭包算子、內代數，以及兩者與S4模態邏輯、直觉主义逻辑的關係，能以單子餘單子理論類比模态逻辑。
推廣
亦可定義2-範疇\mathcal C中的單子。
參見
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參考文獻
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