Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義
設 \mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R 上的左模範疇 R-\mathbf{Mod}。固定一對象 A，定義函子 T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)，此為左正合函子，故存在右導函子 R^\bullet T_A(-)，記為 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)。當 \mathcal{C}=R-\mathbf{Mod} 時，常記之為 \mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)。

根據定義，取 B 的內射分解
: J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0

並取 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)，得到
: \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0

去掉首項 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)，最後取上同調群，便得到 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)。

另一方面，若 \mathcal{C} 中也有充足射影元（例如 R-\mathbf{Mod}），則可考慮右正合函子 G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B) 及其左導函子 L_\bullet G_B(-)，可證明存在自然同構 L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)。換言之，對 A 取射影分解：
: P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0

並取 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)，得到
: \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0

去掉尾項 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)，其同調群同構於 \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)。

基本性質

• 若 A 是射影對象或 B 是內射對象，則對所有 i>0 有 \mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0。
• 反之，若 \mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0，則 A 是射影對象。若 \mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0，則 B 是內射對象。
• \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)
• \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)
• 根據導函子性質，對每個短正合序列 0 \to B' \to B \to B* \to 0，有長正合序列：

: \cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B*) \to \cdots

• 承上，若 \mathcal{C} 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 0 \to A' \to A \to A* \to 0，有長正合序列

: \cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B) \to \cdots

譜序列
今設 A,B 為含單位元的環，並固定一環同態 A \to B。則由雙函子的自然同構
: \mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 B-模 M 及 A-模 N，有譜序列
: E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)

這個關係稱為換底。

Ext函子與擴張
Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 A, B \in \mathcal{C}，在擴張
: 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0
的等價類與 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B) 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張
:0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0 與
:0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0

可以構造其 Baer 和 為 0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0，其中 \Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 \mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）
:0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0 與
:0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0

此時的 Baer 和定為
: 0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X*_1\rightarrow A\rightarrow 0

其中 A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1（反對角線 \Delta_1 之定義同上），Y_n := X_n \sqcup_B X_n'。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子

• 設 G 為群，取環 R :=\Z G，可以得到群上同調：\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)。
• 設 \mathcal{C} 為局部賦環空間 X 上的 \mathcal{O}_X-模範疇，可以得到層上同調：\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})。
• 設 \mathfrak{g} 為李代數，取環 R := U(\mathfrak{g}) 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)。
• 設 k 為域，A 為 k-代數，取環 R := A \times A^\mathrm{op}，A 帶有自然的 R-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1