伴隨函子

在範疇論中，函子F, G若滿足\mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-))，則稱之為一對伴隨函子，其中G稱為F的右伴隨函子，而F是G的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義
設F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1為函子，若存在雙函子的同構
: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))
則稱F, G為一對伴隨函子，G稱為F的右伴隨函子，而F是G的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構
: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))
: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))

分別在同構的左右兩側置\mathrm{id}_{F(-)}與\mathrm{id}_{G(-)}，遂得到函子間的態射（即自然變換）：
: \mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad（單位）
: F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad（上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性
设F, G是一對伴隨函子，若F為右正合则G為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

例子
伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

• 自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合X到它生成的自由群F(X)的包含映射。
• 積與。
• 設R為環，M為右R-模，則M \otimes_R - : _R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}與\mathrm{Hom}_\Z (-,M): \mathbf{Ab} \to _R\mathbf{Mod}為一對伴隨函子。當R可交換時，上式的\Z可代為R，\mathbf{Ab}可代為_R\mathbf{Mod}。
• 層的正像與逆像。
• 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱）。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結

• [https://web.archive.org/web/20070710013127/http://www.institut.math.jussieu.fr/%7Eschapira/polycopies/Cat.pdf Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra]