正合函子

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子
設 \mathcal{C}, \mathcal{C}' 為阿貝爾範疇，F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 為加法函子。若對每個正合序列
: \cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cdots

取 F 後得到的序列
: \cdots \longrightarrow F(X_i) \longrightarrow F(X_{i-1}) \longrightarrow \cdots

仍為正合序列，則稱 F 為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 0 \to X' \to X \to X \to 0，其像截去尾端零對象後 0 \to F(X') \to F(X) \to F(X) 為正合序列，則稱 F 是左正合函子；類似地，若 F(X') \to F(X) \to F(X*) \to 0 為正合序列，則稱 F 是右正合函子。正合性等價於左正合性＋右正合性。

一般範疇中的正合函子
考慮一個函子 F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}'。

• 若\mathcal{C}裡存在任意的有限射影極限，且F與有限射影極限交換（即：F(\varprojlim_i X_i) \stackrel{\sim}{\to} \varprojlim_i F(X_i)），則稱F為左正合。
• 若\mathcal{C}裡存在任意的有限歸納極限，且F與有限歸納極限交換（即：\varinjlim_i F(X_i) \stackrel{\sim}{\to} F(\varinjlim_i X_i) ），則稱F為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱F為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子

• 根據極限的泛性質，\mathrm{Hom}(-,-)函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。
• 設(F,G)是一對伴隨函子。若\mathcal{C}存在任意有限歸納極限，則F右正合；若存在任意有限射影極限，G左正合。此法可建立許多函子的正合性。
• 設 X 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 X \mapsto F(X) 是左正合函子。
• 設 R 為環，T 為右 R-模，則左 R-模範疇上的張量積函子 T \otimes_R - 是右正合函子。
• 設 \mathcal{A},\; \mathcal{B} 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇 \mathcal{B}^\mathcal{A}，固定一對象 A \in \mathcal{A}，對 A 的「求值」是正合函子。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490