拉回 (范畴论)
在数学分支范畴论中，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射 f:X\rightarrow Z 与 g: Y\rightarrow Z 组成的图表的极限。拉回经常写作 : P = X \times_Z Y.\, 泛性质 明确地说，态射 f 和 g 的拉回由一个对象 P 和两个态射 p_1:P\rightarrow X与 p_2:P\rightarrow Y 组成，使得图表 交换。并且拉回 (P, p_1, p_2) 对…
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极限 (范畴论)
在數學裡的範疇論中，極限（）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 定義 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C 中類型 J 的圖示是指一個由 J 映射至 C 的函子： :F : J → C. 範疇 J 稱之為「索引範疇」，圖示 F 可想做是以 J 索引 C…
推出 (范畴论)
在范畴论中，一个数学领域， 推出（也称为纤维餘积、纤维和、共合和或餘笛卡尔方块）是由具有公共定义域的两个态射 f : Z → X 与 g : Z → Y 组成的图表的餘极限。 推出是拉回的范畴对偶。 泛性质 明确地说，态射 f 与 g 的推出由一个对象 P 和两个态射 i1 : X → P 与 i2 : Y → P 组成，使得图表交换： 并且，推出 (P, i1, i2) 关于这个图表必须是通用的。这就是说，任何其它这样的三元组 (Q,…
始对象和终对象
在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 性质 范畴的始对象或终对象不一定存在。然而，若存在多个始对象，则它们互相同构。终对象也类似。 例子 范畴Set(以集合为对象，函数为态射)的唯一始对象为空集。…
雙積
在範疇論中，雙積是直積在預加法範疇中的推廣，它同時是範疇論意義下的積與上積。 定義 令 \mathcal{C} 為預加法範疇，因而任兩個對象 A, B 間的態射集 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) 是交換群。給定有限個對象 A_1, \ldots, A_n，假設有： 對象 A，通常表作 A_1 \oplus \cdots \oplus A_n。 態射 p_k : A \to A_k（稱為射影） 態射 i_k: …
积 (范畴论)
范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 定义 给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈ I）为一组态射：对任意对象Y及其到Xi的一组态射fi，存在唯一的态射f : Y → X满足，对任意i ∈ I，fi = πi f。即，对…