在数学分支范畴论中，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射 f:X\rightarrow Z 与 g: Y\rightarrow Z 组成的图表的极限。拉回经常写作
: P = X \times_Z Y.\,
泛性质
明确地说，态射 f 和 g 的拉回由一个对象 P 和两个态射 p_1:P\rightarrow X与 p_2:P\rightarrow Y 组成，使得图表
交换。并且拉回 (P, p_1, p_2) 对这个图表必须是通用的。这便是说，任何其它这样的三元组 (Q, q_1, q_2) 一定存在惟一的 u:Q\rightarrow P 使得图表
交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。
弱拉回
一个cospan X \rightarrow Z \leftarrow Y 的弱拉回是在cospan上面的锥只须满足弱泛性质，这就是说中间映射 u:Q\rightarrow P 不必是惟一的。
例子
在集合范畴中，f 与 g 的拉回是集合
: X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,
以及投影映射的限制 \pi_1 与 \pi_2 映到 X \times_Z Y 。
*这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射 f \circ p_1, g \circ p_2 : X\times Y \rightarrow Z 的等化子，这里X\times Y是 X 和 Y的二元积
而 p_1与 p_2是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。
拉回的另一个例子来自纤维丛理论：给定一个纤维映射 \pi: E \rightarrow B 以及一个连续映射 f: X \rightarrow B，拉回 X \times_B E 是 X 上的纤维丛，称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。
在任何具有终对象Z的范畴中，拉回 X \times_Z Y 恰好是普通积 X\times Y。
性质
- 如果 X \times_Z Y 存在，那么 Y \times_Z X 也存在，且存在态射 X\times_Z Y\cong Y\times_Z X。
- 单态射在拉回下不变：如果箭头 f 单，那么它就是箭头 p_2。例如，在集合范畴中，如果 X 是 Z 的子集，那么对任何 g: Y \rightarrow Z，拉回 X \times_Z Y 是 X 在 g 下的逆像。
- 同构态射也不变，因此 X \times_X Y\cong Y 对任何映射 Y\rightarrow X 成立。
又见
- 拉回的范畴对偶称为推出。
- 微分几何中的拉回。
- 关系代数中的相等连接。
参考文献
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories] (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
- Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).
外部链接
*[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php 有趣的网页]给出了有限集合中拉回的例子，作者为[https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine]。
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