在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。

陳述
在任一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）或群範疇中，考慮以下的交換圖：

五引理的敘述是：如果橫列正合，m, p 是同構，l 是滿射而 q 是單射，則 n 是同構。

兩個四引理的敘述是：

(1) 考慮交換圖

若其橫行正合，m, p 是滿射而 q 是單射，則 n 是滿射。

(2) 考慮交換圖

若其橫行正合，m, p 是單射而 l 是滿射，則 n 是單射。

證明
以下採用的證法俗稱「圖追蹤」，它看似繁複，其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤，以下假設所論範疇為某個環上的模範疇，因此可以談論對象的元素，並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理，可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇，僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

設 c' \in C'。

由於 p 是滿射，存在 d \in D 使得 p(d)=t(c')。

根據圖的交換性，u(p(d)) = q(j(d))。

根據正合性， \mathrm{Im}(t) = \mathrm{Ker}(u)，故 0=u(t(c')) = u(p(d)) = q(j(d))。

因為 q 是單射，j(d)=0，故 d \in \mathrm{Ker}(j) = \mathrm{Im}(h)。

於是存在 c \in C 使得 h(c)=d。

遂有 t(n(c))=p(h(c)) = t(c')。因為 t 是同態，有 t(c'-n(c))=0。

根據正合性，c'-n(c) \in \mathrm{Im}(s)，故存在 b' \in B' 使得 s(b')=c'-n(c)。

因為 m 是滿射，存在 b \in B 使得 b' = m(b)。

根據圖的交換性 n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)。

因為 n 是同態，n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'。

由此可知 n 是滿射。證畢。

為證明 (2)，在下圖中假設 m 與 p 是單射，而 l 是滿射。

設 c \in C 使得 n(c)=0。

於是 t(n(c))=0。

根據圖的交換性，p(h(c))=0

因為 p 是單射，h(c)=0。

根據正合性，存在 b \in B 使得 g(b)=c。

根據圖的交換性，s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0。

根據正合性，存在 a' \in A' 使得 r(a')=m(b)。

因為 l 是滿射，存在 a \in A 使得 l(a)=a'。

根據圖的交換性，m(f(a)) = r(l(a)) = m(b)。

因為 m 是單射，f(a)=b。

故 c = g(f(a)) = 0。

由此可知 n 是單射。證畢。

結合兩個四引理，便可證得五引理。

應用
五引理通常用於長正合序列：在計算一個對象的同調或上同調群時，我們通常利用一個較簡單的子對象，其同調或上同調已知，再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調，此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象，此態射導出長正合序列的鏈映射，此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題

• 短五引理：五引理對短正合序列的特例。
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