蛇引理

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

敘述
考慮一阿貝爾範疇\mathcal{A}（例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫a, b, c的核與上核的正合序列：

\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c

此外，若f是單射，則\ker a \to \ker b亦然；若g'是滿射，則\mathrm{coker} b \to \mathrm{coker} c亦然。

引蛇出洞
為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連接同態
核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態d及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態d可如是構造：

選定x \in \ker c，並視之為C的元素；由於g是滿射，存在y \in B滿足g(y)=x。由圖的交換性，我們有
: g'(b(y)) = c(g(y)) = c(x) = 0（因為x \in \ker c）
於是b(y) \in \ker g'。由於底部的橫列正合，存在z \in A'使得f'(z)=b(y)。置d(x) := z + \mathrm{im}(a)。今須驗證d是明確定義的，即d(x)不依賴y, z之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環R的R-模範疇。

函子性
在應用上，我們常常需要長正合列的「函子性」或曰「自然性」（就自然變換意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

設交換圖
:
的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在「前」一次在「後」，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：
:

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X