投射分解

在同調代數中，一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 中的對象 A 之投射分解定義為一個正合序列
: \cdots \longrightarrow P_{n} \longrightarrow P_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow A \longrightarrow 0
或簡寫成 P_\bullet \rightarrow A \rightarrow 0，使得其中每個 P_n 皆為投射對象。對任一對象 A，任兩個投射分解至多差一個鏈複形的同倫等價。

若 \mathcal{A} 中的每個對象都有投射分解，則稱 \mathcal{A} 有充足的投射元，這類範疇上能以投射分解開展同調代數的研究。典型例子包括：

• 環 R 上的模構成之範疇 \mathbf{Mod}_R，這是交換代數的主要對象。模上投射分解的特例是自由分解，此時我們要求每個 P_\bullet 都是自由模；由於任何模均可表成自由模的商，自由分解總是存在的。希爾伯特合衝定理斷言：若取 R 為域上的多項式環，則自由分解在有限步之內停止。
• 群 G 的 G-模範疇 G-\mathbf{Mod}，也就是帶有 G 的群作用的阿貝爾群，此範疇上能定義群上同調。

反例則包括一般概形 X 上的凝聚層範疇 \mathbf{Coh}_X。

與此對偶的概念是內射分解。