链复形

数学上，同调代数领域中的一个链复形(A_\bullet, d_\bullet)是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：

::\ldots \longrightarrow
A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} d_n \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix} 0.

定義鏈複形的同調群為 H_n(A_\bullet) := \mathrm{Ker}(d_n)/\mathrm{Im}(d_{n+1})。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。

链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形(A^\bullet, d^\bullet)是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：dn+1 o dn = 0 对于所有的n:

::0 \longrightarrow
A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_2 \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} d_n \\ \longrightarrow \\ \, \end{matrix}
A_{n+1} \longrightarrow \ldots.

定義上鏈複形的上同調群為 H^n(A^\bullet) := \mathrm{Ker}(d^n)/\mathrm{Im}(d^{n-1})。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个有界复形是其中，几乎所有的Ai为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。

例子
奇异同调
假定我们给定一个拓扑空间X。

定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射

::\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X): \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto
(\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|[v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),

其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以(C_\bullet, \partial_\bullet)是一个链复形；奇异同调 H_\bullet(X)是该复形的同调类；也就是说，

::H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}.

德拉姆上同调
任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ωk(M)。
外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M)，而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：

:: \Omega^0(M) \to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \ldots.

该复形的上同调是德拉姆上同调

::H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_{k+1} / \mbox{im } d_k.

鏈映射
兩個鏈複形 (A_\bullet, d_{A,\bullet})、(B_\bullet, d_{B,\bullet}) 之間的鏈映射是一族同態 f_n : A_n \rightarrow B_n，使之滿足： f_n \circ d_{A,n}= d_{B,n} \circ f_{n+1}；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 (X^\bullet, d_X^\bullet)、(Y^\bullet, d_Y^\bullet) 之間的上鏈映射是一族同態 f^n : X^n \rightarrow Y^n，使之滿足： f^{n+1} \circ d_X^n = d_Y^n \circ f^n。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

鏈同倫
兩個鏈映射 f_n, g_n: A_\bullet \rightarrow B_\bullet 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 D_n: A_n \rightarrow B_{n+1} 使得 f_n - g_n = d_{n+1} \circ D_n + D_{n-1} \circ d_n 。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 D^n: X^n \rightarrow Y^{n+1}。以下給出上鏈同倫的圖解：

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

参看

• 同调
• 微分分级代数