完備化 (環論)
在交換代數中，可以探討一個交換環 R 本身，或一個 R-模對一理想 I \subset R 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。 幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。 I-進拓撲 對於一個交換環 R 及其理想 I（通常取為極大理想），可以藉著取 I^n \; (n \in \N) 為零元素的開鄰域，賦予 R 相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 I-進拓撲。 對於一個 R…
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科恩-麥考利環
在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（）與欧文·索尔·科恩（） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。 形式定義 若交換局部環 (R,\mathfrak{m}) 滿足 \mathrm{depth}_\mathfrak{m}(R) …
永田環
在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A 為一整環。 A 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 L/K， A 在 L 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作泛日本環，若且唯若 A 上任何有限生成的整環都是日本環。 一個泛日本環 A 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 A 也是諾特環。 註…
Tor函子
在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。 定義 設 R 為環。令 R-\mathbf{Mod} 為左 R-模範疇、 \mathbf{Mod}-R 為右 R-模範疇（若 R 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 B \in R-\mathbf{Mod}，考慮函子 : T_B(-) := - \otimes_R B 這是從 \mathbf{Mod}-R 至阿貝爾群…
Ext函子
在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。 定義 設 \mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R 上的左模範疇 R-\mathbf{Mod}。固定一對象 A，定義函子 T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)，此為左正合函子，故存在右導函子 R^\bullet T_A(-)，記為 \mathrm{Ext}_\mathcal…
高度 (環論)
在交換代數中，一個環 R 的理想 I 的高度是包含於 I 的素理想鏈長度之上確界。 素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得 : P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n 則稱之為長度為 n 的素理想鏈。若 P_n \subset I，則稱此鏈包含於 I。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的 在代數幾何中，這可以詮…
內射分解
在同調代數中，一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 中的對象 A 之內射分解定義為一正合序列 : 0 \longrightarrow A \longrightarrow I^0 \longrightarrow \cdots \longrightarrow I^n \longrightarrow I^{n+1} \longrightarrow \cdots 或簡寫成 0 \rightarrow A \rightarrow I^\bull…
阿廷模
阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。 定義 以下固定一個環 A。設 M 為左 A-模，當 M 滿足下列，則稱 M 為阿廷模： : 對所有由 M 的子模構成的降鏈 M_1 \supset M_2 \supset \cdots，存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1}；換言之，此降鏈將會固定。 若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。 …
中山引理
在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。 陳述 它的眾多等價陳述之一如下： : 引理（中山正）。設R為含單位元的交換環，I為一理想，M為有限生成R-模。若IM=M，則存在r \in R滿足r \equiv 1 \pmod I且rM = 0。 推論 : 推論一。在上述條件下，若I包含於R的Jacobson根，則必然有M=0。 : 推論二. 若N是M的子模，且存在有限生成的M的子模N'及包含於R的Jacobson根的理想I，使得M …
阿廷環
阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。 定義 一個環A稱作阿廷環，若且唯若對每個由A的理想構成的降鏈\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots，必存在N \subset \mathbb{N}，使得對所有的n,m \geq N都有\mathfrak{a}_n = \mathf…
整性
整性是交換代數中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于環的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。 定義 以下所論的環皆為含單位元的交換環。 設有環、，為的子環。设∈。若存在以中元素为系数的首一多項式∈，使得0，則稱是上的整元素。如果的每個元素都是上的整元素，則稱為的整擴張。 由有限性刻劃 假設同上。環的乘法與加法運算賦予 B 自然的 A-模結構。對於…
正則局部環
在交換代數中，正則局部環是使得其極大理想的最小生成元個數等於其Krull維度的局部諾特環。 定義 設 (A,\mathfrak{m}) 為局部諾特環。設 a_1, \ldots, a_n 為 \mathfrak{m} 的一組最小生成元，一般而言有 n \geq \dim A。當 n = \dim A 時，稱 A 為正則局部環。 根據中山正引理，局部諾特環 (A,\mathfrak{m}) 為正則局部環若且唯若 \dim_{A/\math…
長度 (模論)
在數學中，設 A 為環，一個 A-模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。 動機 單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈： : \{0\} \subsetneq M 單模是容易處理的對象。對於一個環 A 上的 A-模 M，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：…
諾特正規化引理
在交換代數中，諾特正規化引理是一個技術性的定理，以德國數學家埃米·諾特命名。其內容如下： 設 k 為域，A 是有限生成的 k-代數，且 A 是整環，則存在 x_1, \ldots, x_d \in A，使得 x_1, \ldots, x_d 在k 上彼此代數獨立，且 A 是 k[x_1, \ldots, x_d] 的整擴張。 它的一個重要幾何結論之一是：任一射影簇均可表為仿射空間的分歧覆蓋。 文獻 H. Matsumura, Commu…
投射模
在交換代數中，一個環 R 上的投射模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象。 投射模首見於昂利·嘉當與塞繆爾·艾倫伯格的重要著作 Homological Algebra，由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一。 定義 此節給出投射模的兩種等價定義。 自由模的直和項 投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 …
投射分解
在同調代數中，一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 中的對象 A 之投射分解定義為一個正合序列 : \cdots \longrightarrow P_{n} \longrightarrow P_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow A \longrightarrow 0 或簡寫成 P_\bullet \rightarrow A \rightar…
平坦模
在抽象代數中，一個環 R 上的平坦模是一個 R-模 M，使得函子 - \otimes_R M 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 交換環的情形 當 R 為交換環，一個 …
自由模
在抽象代數中，一個環 R 上的自由模是帶有基底的模。 定義 一個自由 R-模 M 是 R-模範疇中的自由對象。具體言之，即存在一族元素 \{m_i\}_{i \in I}（可能有無限多個）使得： 任何 m \in M 都可表成它們的線性組合 m = \sum_{i \in I} r_i m_i，其中只有有限個 r_i 非零。 若 \sum_{i \in I} r_i m_i = \sum_{i \in I} r_i' m_i，則 \fo…
希爾伯特第十四問題
希爾伯特第十四問題是希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令k為一個域，k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)。令 R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K，希爾伯特猜想R是有限生成的k-代數。 歷史 此問題源自不變量理論。具體而言，假設群G作用於n維仿射空間\mathbb{A}^n_k，或者等價地說，作用於多項式環k[X_1, \ldots, X_n]…
局部環
在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 定義 設 R 為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若 R 僅有一個極大理想 \mathfrak{m}，則稱 R（或 (R,\mathfrak{m})）為局部環。域 R/\mathfrak{m} 稱為 R 的剩餘域。 …