賦值環
在抽象代數中，賦值環是一個域裡的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。 定義 賦值環是一个整环D，滿足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x −1 ∈ D. 一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，若且唯若對每個 x \in F^ ，必有 x \in R 或 x^{-1} \in R 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F的素点（位） 若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。 …
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準素理想
在交換代數中，一個交換環 R 裡的理想 Q 若滿足 R/Q \neq (0)，而且其中每個零除數都是冪零的，則稱之為準素理想。另一種等價的刻畫是：對任意 a,b \in R，若 ab \in Q，則或有 a \in Q，或 \exists n \, b^n \in Q。 若設 P 為 Q 的根（必為素理想），則也稱 Q 為P-準素理想。 任何素理想都是準素理想。在整數環 \Z 中，準素理想對應到素數的冪。 一般而言，對任何 R-模 M，…
分式環
在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。 分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。 構造 分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R 為一個整環，而 S := R - \{0\}。 在集合 R \times S 上定義下述等價關係 \sim： : (r,s) \sim (r',s') \iff rs' - r's = 0 等價類 […
優環
在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。 代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。 定義 以下所論之環皆假定為么交換環。 一個包含域 k 的環 R 被稱作在 k 上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 …
準素分解
在交換代數中，準素分解將一個交換環的理想（或模的子模）唯一地表成準素理想（或準素子模）之交。這是算術基本定理的推廣，能用以處理代數幾何中的情況。 陳述 設 R 為交換諾特環，M 為有限生成之 R-模。對任一子模 N \subset M，存在有限多個準素子模 M_i 使得 : N = \bigcap_i M_i 事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 M_i），且諸準素子模 M_i 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解…
深度 (模論)
在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。 正則序列 設 R 為交換環，M 為 R-模。若元素 x \in R 滿足 \forall m \in M, \; xm=0 \Rightarrow m=0（即：x 非 M 的零因子），則稱之為 M-正則元。 一組 M-正則序列是一個 R 中的有限序列 (x_1, \ldots, x_d)，使得對每個 1 \leq i \leq d 有 …
葛侖斯坦環
在交換代數中，一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環（英文：Gorenstein ring）是對每個素理想的局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。 葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。 其它定義 對於局部環 (R, \mathfrak{m}, k)，葛侖斯坦局部環的古典定義是：R 是科恩-麥考利環，而且存在 \math…
內射維度、投射維度與同調維度
投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。 定義 以下設 A 為交換環，而 M 為 A-模。 M 的內射維度 \mathrm{id}_A(M) 定義為其內射分解的最短長度（當 M=(0) 時置 \mathrm{id}_A(0) = -\infty）。投射維度 \mathrm{pd}_A(M) 則定義為其投射分解的最短長度。 利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃： 命題一. 設 n \geq 0 為整…
鏈環
在交換代數中，一個交換環 R 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想 : \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q} 任何嚴格遞增的素理想鏈 : \mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subset \mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n = \mathfrak{q} 皆包含於一個從 \mathfrak{p} 到 \mathfr…